Matematika I

Cilji in predmetno specifične kompetence

Študent spozna osnovne pojme matematične analize, kot so limita, zveznost, odvod in integral funkcije ene realne spremenljivke, številske in funkcijske vrste, poleg tega pa tudi zveznost ter odvod funkcije več realnih spremenljivk. Matematika 1 sodi med temeljne predmete pri študiju fizike.

Opis vsebine

Množice: družine množic, kartezični produkt.  Relacija, ekvivalenčna relacija. Funkcije: injektivna, surjektivna, bijektivna funkcija, graf funkcije, inverzna funkcija, kompozitum funkcij.

Naravna števila, princip popolne indukcije. Cela, racionalna števila. Realna števila: urejenost realnih števil, supremum, infimum, polnost. Kompleksna števila: polarni zapis, koreni enote.

Vektorji v trirazsežnem prostoru. Skalarni, vektorski, mešani produkt, dvojni vektorski produkt. Vzporedni premik koordinatnega sistema, daljica, konveksnost. Enačba ravnine, premice.

Zaporedje realnih ali kompleksnih števil: stekališče, limita. Cauchyjevo zaporedje. Vsako omejeno zaporedje realnih ali kompleksnih števil ima stekališče. Računanje z zaporedji. Število e.

Realne funkcije realne spremenljivke. Zveznost funkcije. Računanje z zveznimi realnimi funkcijami. Lastnosti realnih zveznih funkcij. Enakomerna zveznost. Limita funkcije. Inverzna funkcija k monotoni realni funkciji. Krožne funkcije, eksponentna funkcija, logaritemska funkcija. Limite v neskončnosti in neskončne limite, asimptote grafov. Parametrično podane krivulje.

Odvod. Aproksimacija z odvodom. Pravila za odvajanje. Odvodi elementarnih funkcij. Višji odvodi. Lokalni ekstremi, Rollov in Lagrangeov izrek. L' Hospitalova pravila. Risanje funkcij. Newtonova metoda iskanja ničel.

Nedoločeni integral. Določeni integral: spodnje in zgornje vsote, Riemannove vsote.Lastnosti integrala. Glavni izrek integralskega računa. Povprečna vrednost. (Numerična integracija: trapezna in Simpsonova formula.) Izlimitirani integrali. Ploščine, prostornine in površine rotacijskih teles. Dolžina krivulje.

Vrste realnih in kompleksnih števil. Absolutna konvergenca.

Konvergenčni kriteriji: kvocientni, korenski, integralski. Funkcijska zaporedja in vrste, enakomerna konvergenca. Odvajanje in integriranje funkcijskih zaporedij in vrst. Potenčne vrste, konvergenčni radij. Taylorjeva formula in Taylorjeva vrsta. Eksponentna vrsta, logaritemska vrsta, binomska vrsta, vrsti za funkciji sinus in cosinus. Eksponentna funkcija v kompleksnem.

Večrazsežni evklidski prostor. Funkcije več spremenljivk. Zvezne funkcije več spremenljivk in njihove lastnosti. Parcialni odvodi, višji parcialni odvodi. Taylorjeva vrsta funkcije več spremenljivk. Ekstremi funkcije več spremenljivk. Zadostni pogoj za ekstrem funkcije dveh spremenljivk.

Grupe: primeri, Abelove grupe, simetrična grupa. Podgrupa. Homomorfizem, izomorfizem. Jedro homomorfizma.Ciklična grupa. Kolobarji in obsegi.

 

Temeljna literatura

• F. Križanič, Temelji realne matematične analize. Državna založba Slovenije, Ljubljana, 1990.
• M. H. Protter, C. B. Morrey, Intermediate Calculus. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1985.
• W. Rudin, Principles of mathematical analysis. McGraw-Hill, Auckland, 1976.
• I. Vidav, Višja matematika I. Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije, Ljubljana, 1994.

Predvideni študijski dosežki

Znanje in razumevanje.
Poznavanje in razumevanje osnovnih pojmov in definicij.

Uporaba
Uporaba teorije pri reševanju problemov.

Refleksija
Razumevanje teorije na podlagi uporabe

Prenosljive spretnosti - niso vezane le na en predmet
Spretnosti uporabe domače in tuje literature in drugih virov, identifikacija in reševanje problemov, kritična analiza.

Metode poučevanja in učenja

Predavanja in vaje

Pogoji za vključitev v delo oziroma za opravljanje študijskih obveznosti

• Vpis v letnik.
• Opravljen izpit iz vaj je pogoj za pristop k izpitu iz teorije.

Metode ocenjevanja in ocenjevalna lestvica

• 2 kolokvija namesto izpita iz vaj, izpit iz vaj, izpit iz teorije.
• 6-10 (pozitivno), in 1-5 (negativno) (po Statutu UL).

Metode evalvacije kakovosti

Študentska anketa (univerzitetna in interna).

Sestavljalec učnega načrta

• Prof. dr. Peter Legiša
• Prof. dr. Bojan Magajna
• Prof. dr. Janez Mrčun