Matematika II

Cilji in predmetno specifične kompetence

Študent spozna osnovne pojme linearne algebre ter pojem in uporabo odvoda vektorske funkcije več realnih spremenljivk. Matematika 2 sodi med temeljne predmete pri študiju fizike.

Opis vsebine

Matrike: operacije med matrikami, transponirana matrika. Kvadratne matrike, grupa obrnljivih matrik. Gaussova eliminacijska metoda, vrstična kanonična oblika matrike, rang matrike, reševanje sistemov linearnih enačb in računanje inverza matrike. 

Determinante: lastnosti, razvoj po vrstici ali stolpcu, determinanta produkta, Cramerjevo pravilo. 

Vektorski prostori. Linearna odvisnost, baza, razsežnost. Linearni operator, matrika linearnega operatorja in njegov rang. Endomorfizmi vektorskih prostorov. Invariantni podprostori, lastne vrednosti in vektorji, karakteristični polinom, diagonalizabilnost. Schurov izrek in Cayley-Hamiltonov izrek.

Skalarni produkt na vektorskem prostoru, pravokotnost, izometrije. Ortonormirane baze, Gram-Schmidtova ortogonalizacija. Adjungirani operator. Unitarni, normalni, sebi adjungirani in pozitivno definitni operatorji. Diagonalizacija sebiadjungiranega in normalnega operatorja. Bilinearne in kvadratne forme. Ploskve drugega reda.

Metrični prostori: odprte, zaprte množice, notranje, robne točke, stekališča in limite zaporedij. Kompaktnost, kompaktnost v evklidskih prostorih, povezanost s potmi. Lastnosti zveznih preslikav med metričnimi prostori. Banachov izrek o skrčitvi.

Vektorske funkcije več spremenljivk. Diferenciabilnost in Jacobijeva matrika, verižno pravilo. Ekstremi funkcij več spremenljivk, Hessejeva matrika. Izrek o inverzni funkciji in izrek o implicitni funkciji. Vezani ekstremi in Lagrangeva metoda množiteljev. Integrali,  odvisni od parametra.

Krivulje in ploskve v prostoru: parametrizacija, tangentni prostor, ukrivljenost.

Temeljna literatura

• S. I. Grossman, Elementary linear algebra. Saunders College Publishing, Orlando, 1991.
• P. R. Halmos, Finite-dimensional vector spaces. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1974.
• F. Križanič, Temelji realne matematične analize. Državna založba Slovenije, Ljubljana, 1990.
• F. Križanič, Linearna algebra in linearna analiza. Državna založba Slovenije, Ljubljana, 1993.
• D. C. Lay, Linear algebra and its applications. Addison-Wesley, Reading, 1997.
• M. H. Protter, C. B. Morrey, Intermediate Calculus. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1985.
• W. Rudin, Principles of mathematical analysis. McGraw-Hill, Auckland, 1976.
• I. Vidav, Višja matematika I. Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije, Ljubljana, 1994.

Predvideni študijski dosežki

Znanje in razumevanje
Poznavanje in razumevanje osnovnih pojmov in definicij.

Uporaba
Uporaba teorije pri reševanju problemov

Refleksija
Razumevanje teorije na podlagi uporabe.

Prenosljive spretnosti - niso vezane le na en predmet
Spretnosti uporabe domače in tuje literature in drugih virov, identifikacija in reševanje problemov, kritična analiza.

Metode poučevanja in učenja

Predavanja in vaje

Pogoji za vključitev v delo oziroma za opravljanje študijskih obveznosti

• Vpis v letnik.
• Opravljen izpit iz vaj je pogoj za pristop k izpitu iz teorije.

Metode ocenjevanja in ocenjevalna lestvica

• 2 kolokvija namesto izpita iz vaj, izpit iz vaj, izpit iz teorije.
• 6-10 (pozitivno), in 1-5 (negativno) (po Statutu UL).

Metode evalvacije kakovosti

Študentska anketa (univerzitetna in interna)

Sestavljalec učnega načrta

• Prof. dr. Peter Legiša
• Prof. dr. Bojan Magajna
• Prof. dr. Janez Mrčun