Matematika III

Cilji in predmetno specifične kompetence

Slušatelj spozna zahtevnejša poglavja matematične analize kot so večkratni integrali, Fourierove vrste, navadne diferencialne enačbe, vektorska analiza, Fourierova transformacija. Matematika 3 je eden osnovnih predmetov pri študiju fizike.

Opis vsebine

Dvojni integral in n-terni integral. Prehod na večkratni integral. Težišča, vztrajnostni momenti. Vpeljava novih spremenljivk v večkratni integral, polarne, valjne in krogelne koordinate. Integrali po neomejenem območju, integrali neomejenih funkcij.

Prostor s skalarnim produktom, Hilbertov prostor. Integrali kompleksnih funkcij, prostor L²[a, b]. Ortonormirani sistemi, Besselova neenakost. Fourierova vrsta, ortonormirana baza.  Prostora L²[-?, ] in  L²[-a, a], Parsevalova enakost, konvergenca trigonometrijske  Fourierove vrste po točkah.

Navadne diferencialne enačbe (DE): linearna DE prvega reda, ločljive spremenljivke,  točne DE. Eksistenčni izrek za DE prvega reda.

Eksistenčni izrek za sistem linearnih DE prvega reda. Homogena linearna DE drugega reda:  determinanta Wronskega, osnovni rešitvi, zniževanje reda, enačba s konstantnimi koeficienti. Nehomogena linearna DE drugega reda: variacija konstante. Enačba  s konstantnimi koeficienti: nastavki. Mehanično (nedušeno in dušeno) nihanje, resonanca.  Linearne DE višjih redov.

Sistem linearnih DE prvega reda s konstantnimi koeficienti: reševanje homogenega sistema z lastnimi vrednostmi. Eksponentna funkcija kvadratne matrike, osnovna matrična rešitev, variacija konstante.

Krivuljni integral, potencialna polja,  Greenova formula. Površina ploskve.

Ploskovni integral in pretok vektorskega polja.   Gaussov in Stokesov izrek, operator nabla. Sestavljene vektorske operacije, ortogonalne krivočrtne koordinate.

Preprosti robni problemi. Parcialne diferencialne enačbe (PDE);

Fourierova metoda: enačba za prevajanje toplote (po končni palici),

valovna enačba.

Fourierova transformacija, Prostor L¹. Inverzna transformacija.

Konvolucija. Primeri iz matematične fizike.

Temeljna literatura

Ustrezna poglavja v:

• E. Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics, 9th ed., Wiley,  New   York 2006 
• V. A. Zorich, Mathematical Analysis II, Universitext, Springer Verlag, Berlin Heidelberg 2004.
• M. Braun, Differential Equations and Their Applications, 4th ed. Applied mathematical sciences 15, Springer-Verlag, New York 1993.
• A. Pinkus, S. Zafrany, Fourier Series and Integral Transforms, Cambridge University Press, Cambridge 1997.

V slovenščini pridejo v poštev nekatera poglavja v:

• E. Zakrajšek, Analiza III, Matematični rokopisi 21, DMFA-založništvo, Ljubljana 2002 i
• A. Suhadolc, Metrični prostor, Hilbertov prostor, Fourierova analiza, Laplaceova transformacija, Matematični rokopisi 23,  DMFA, Ljubljana, 1998.
• A. Suhadolc, Navadne diferencialne enačbe, Izbrana poglavja iz matematike  in računalništva,  DMFA, Ljubljana, 1996.
• A. Suhadolc, Integralske transformacije, integralske enačbe,  Matematika - fizika: Zbirka univerzitetnih učbenikov in monografij,  DMFA, Ljubljana, 1994.

 

Naloge najdemo v:

• B. Hvala, Zbirka izpitnih nalog iz analize z namigi, nasveti in rezultati,  Izbrana poglavja iz matematike  in računalništva,   DMFA-založništvo, Ljubljana, 2000.
• M. Dobovišek, Rešene naloge iz Analize II, Izbrana poglavja   iz matematike  in računalništva,   DMFA-založništvo, Ljubljana, 2001.
• J. Cimprič, Rešene naloge iz Analize III, Izbrana poglavja iz matematike  in računalništva,   DMFA-založništvo, Ljubljana, 2001.

Predvideni študijski dosežki

Znanje in razumevanje
Znanje ustreznih definicij in izrekov, razumevanje (vsaj lažjih) dokazov, sposobnost aplikacije pridobljenega znanja v matematični fiziki.

Uporaba
Povezava z Matematiko 4,  Numeričnimi metodami, Matematično fiziko in drugimi fizikalnimi predmeti.

Refleksija
Študent obvlada nekatere  zahtevnejše metode matematične analize in jih zna uporabiti v fiziki.

Prenosljive spretnosti - niso vezane le na en predmet
Razumevanje uporabnosti splošnejše obravnave matematičnih problemov in višjega nivoja abstrakcije, povezava z že obvladano snovjo. Uporaba domače in tuje literature,  reševanje domačih nalog in iskanje podatkov in pomoči  v literaturi ali na medmrežju.

Metode poučevanja in učenja

Predavanja, vaje, domače vaje, konzultacije, kratki seminarji.

Pogoji za vključitev v delo oziroma za opravljanje študijskih obveznosti

• Vpis v drugi letnik.
• Opravljen izpit iz vaj je pogoj za pristop k izpitu iz teorije.

Metode ocenjevanja in ocenjevalna lestvica

• Dva kolokvija namesto izpita iz vaj, izpit iz vaj, izpit iz teorije.
• Ocene:  6-10 (pozitivno), 1-5 (negativno) (po Statutu UL).

Metode evalvacije kakovosti

Študentska anketa (univerzitetna in interna), samoevalvacija.

Sestavljalec učnega načrta

• prof. dr. Peter Legiša