Domov > Študij matematike > Matematika I. stopnja > Analiza III

Študijski program: matematika
Stopnja: prva
Študijska smer: /
Steber programa: obvezni – skupni
Letnik študija: tretji
Semester: prvi

Predavanja: 45 ur
Vaje: 45 ur
Seminar: 0 ur

Število ECTS kreditov: 6

Jezik: slovenski, angleški
Posebnosti: /

Analiza 3

Cilji in predmetno specifične kompetence

Študent se seznani s pojmom diferencialne enačbe in njene rešitve. Nauči se reševati oziroma obravnavati nekatere tipe navadnih diferencialnih enačb s posebnim poudarkom na linearnih enačbah. Spozna se z osnovami variacijskega računa, pri čemer se sreča tudi s pojmom odvoda operatorja med Banachovima prostoroma.

Opis vsebine

Uvod
Diferencialna enačba 1. reda; fazni prostor, vektorska polja na faznem prostoru, integralske krivulje vektorskih polj. Osnovni primeri diferencialnih enačb. Prvi integral enačbe. Parametrično reševanje in singularne rešitve. Clairoteva enačba. Primeri uporabe.

Obstoj rešitev in njihova odvisnost od začetnih pogojev
Splošna rešitev. Tok navadne diferencialne enačbe prvega reda.

Sistemi linearnih diferencialnih enačb prvega reda
Linearizacija v okolici rešitve. Tok homogenega sistema linearnih enačb. Liouvillova formula. Reševanje sistemov s konstantnimi koeficienti. Reševanje linearne enačbe višjega reda s konstantnimi koeficienti. Vsiljeno oziroma dušeno nihanje. Singularne točke linearnega sistema. Osnove teorije stabilnosti.

Variacijski račun
Nekaj primerov variacijske naloge. Pojem Banachovega prostora. Linearni operatorji med Banachovimi prostori. Odvod operatorja med Banachovima prostoroma. Stacionarne točke funkcionala. Osnovni izrek variacijskega računa. Euler-Lagrangeeva enačba in njeno reševanje.

Legendrova transformacija in kanonski sistem
Naloga s prostima krajiščema. Izoperimetrična naloga. Lagrangeeva naloga.

Temeljna literatura

Predvideni študijski dosežki

Znanje in razumevanje
Razumevanje pojma diferencialne enačbe in njene rešitve. Obvladanje postopkov za analitično reševanje nekaterih tipov diferencialnih enačb. Razumevanje koncepta variacijske naloge.

Uporaba
Formulacija nekaterih problemov iz matematike, naravoslovja in družboslovja v obliki diferencialnih enačb ter njihovo reševanje. Formulacija nekaterih matematičnih in fizikalnih problemov v obliki variacijske naloge ter reševanje teh nalog.

Refleksija
Razumevanje teorije na podlagi uporabe.

Prenosljive spretnosti – niso vezane le na en predmet
Identifikacija in reševanje problemov. Formulacija nekaterih nematematičnih problemov v matematičnem jeziku. Spretnost uporabe domače in tuje literature.

Metode poučevanja in učenja

Predavanja, vaje, domače naloge, konzultacije.

Pogoji za vključitev v delo oziroma za opravljanje študijskih obveznosti

Metode ocenjevanja in ocenjevalna lestvica

Metode evalvacije kakovosti

Študentska anketa (univerzitetna in interna), samoevalvacija.

Sestavljalec učnega načrta