Uvod v diferencialno geometrijo

Cilji in predmetno specifične kompetence

Študent spozna osnovne pojme diferencialne geometrije: metriko, ukrivljenost in geodetske krivulje. Ti pojmi so konstruirani in obravnavani na ploskvah, ki so najenostavnejše netrivialno okolje za obravnavo diferencialno-geometričnih vsebin. Pojmi so predstavljeni v glavnem na ekstrinzični način, študent pa se vseeno spozna z razliko med ekstrinzičnim in intrinzičnim pogledom na geometrijo. Prek Gauss-Bonetevega izreka je poudarjena povezava geometrije s topologijo.

Opis vsebine

• Uvod: Definicija krivulj in ploskev in primeri. Abstraktne krivulje in ploskve ter krivulje in ploskve, vložene v tridimenzionalni realni prostor. Spremljajoči trieder krivulje. Freneteve formule. Karte, atlasi, orientabilnost, ponovitev pojmov Eulerjeve karakteristike in rodu ploskve. Gladke ploskve.
• Metrika: Izometrija ploskev. Pojem metrike in izometričnosti.
• Ukrivljenost: Druga fundamentalna forma ploskve v prostoru. Normalna in geodetska ukrivljenost krivulje na ploskvi. Gaussova ukrivljenost ploskve. Različni opisi in interpretacije ukrivljenosti. Povprečna ukrivljenost in minimalne ploskve. Geodetske krivulje. Geodetski koordinatni sistem.
• Gaussov Theorema egregium: Gaussova ukrivljenost kot izometrična invarianta. Klasifikacija ploskev s konstantno ukrivljenostjo.
• Gauss-Bonnetev izrek: Lokalna in globalna različica tega izreka. Povezava med Gaussovo ukrivljenostjo kot geometrijsko in Eulerjevo karakteristiko kot topološko invarianto. Izrek o številu stacionarnih točk vektorskega polja na sklenjeni orientabilni ploskvi. Izrek o alternirajoči vsoti minimov, maksimov in sedel funkcije na sklenjeni orientabilni ploskvi.

Temeljna literatura

• A. Pressley, Elementary Differential Geometry, Springer, Berlin, 2010.
• Vidav: Diferencialna geometrija, DMFA-založništvo, Ljubljana, 1989.
• M. P. do Carmo: Differential Geometry of Curves and Surfaces, Prentice Hall, Englewood Cliffs, 1976.
• D. W. Henderson: Differential Geometry : A Geometric Introduction, Prentice Hall, Upper Saddle River, 1997.
• I. M. Singer, J. A. Thorpe: Lecture Notes on Elementary Topology and Geometry, Springer, New York-Heidelberg, 1976.

Predvideni študijski dosežki

Znanje in razumevanje
Razumevanje osnovnih diferencialno geometrijskih pojmov: metrike, ukrivljenosti in geodetske krivulje. Razumevanje razlike med geometrijskimi in topološkimi lastnostmi prostorov. Sposobnost računske obravnave navedenih pojmov.       

Uporaba
Opis nekaterih uporab diferencialne geometrije v mehaniki in v drugih vejah fizike. Uporaba geometrije pri topološki obravnavi ploskev. Uporaba geometrije pri reševanju nekaterih diferencialnih enačb.       

Refleksija
Razumevanje teorije na podlagi uporabe.

Prenosljive spretnosti - niso vezane le na en predmet
Za razumevanje predmeta je potrebno solidno obvladanje nekaterih vsebin iz Analize 1 in Analize 2a in 2b ter iz Linearne algebre. Študent se nauči uporabljati znanje, pridobljeno pri drugih predmetih. Spretnost uporabe domače in tuje literature.

Metode poučevanja in učenja

Predavanja, vaje, domače naloge, konzultacije.

Pogoji za vključitev v delo oziroma za opravljanje študijskih obveznosti

• Vpis v letnik študija. 
• Opravljeni izpiti iz predmetov Analiza 1, Analiza 2a, Analiza 2b ter Algebra 1.

Metode ocenjevanja in ocenjevalna lestvica

• 2 kolokvija namesto izpita iz vaj, izpit iz vaj, izpit iz teorije
• ocene: 1-5 (negativno), 6-10 (pozitivno) (po Statutu UL)

Metode evalvacije kakovosti

Študentska anketa (univerzitetna in interna), samoevalvacija.

Sestavljalec učnega načrta

• prof. dr. Pavle Saksida
• prof. dr. Sašo Strle