Izbrana poglavja iz algebre in teorije števil

Cilji in predmetno specifične kompetence

Namen predmeta je seznaniti študente s poglobljenimi posameznimi temami iz širšega področja algebre kot enem izmed temeljnih matematičnih vej. Predmet je usmerjen predvsem v spoznavanje algebraičnih vsebin, ki so zanimivi z učiteljskega vidika kot poglabljanje v koncepte razumevanja matematičnih vsebin.

Opis vsebine

V odvisnosti od interesov in usmerjenosti študentov bo izvajalec izbral med temami:
Linearna algebra:

• Posplošeni inverzi, unitarno invarianatne norme, vektorske in matrične norme, preslikave na matričnih algebrah in prostorih, spekter matrike in perturbacijski izreki, numerični zaklad matrike, pozitivne matrike, multilinearna algebra, preslikave na matričnih prostorih, matrične algebre kot preprosti zgledi za moderno teorijo operatorskih algeber, linearne grupe.

Algebraična geometrija:

• Semialgebraične množice, Pozitivni polinomi, Globalni ekstremi polinomov na semialgebraičnih množicah.

Konveksnost:

• Afine in konveksne množice, Caratheodorijev in Radonov izrek, Politopi in poliedri, Izreki Weyla in Minkovskega, Osnove linearnega programiranja, Hellyjev izrek, Kombinatorični tipi politopov, Eulerjeva formula, Dehn-Sommervilleove enačbe, Steinitzov inverzni problem v R^3, Tlakovanja s konveksnimi politopi, Izrek Minkovskega in geometrija števil.

Teorija števil:

• Osnove aritmetične analize, Aritmetične funkcije, Dirichletova konvolucija, Odvajanja na kolobarju aritmetičnih funkcij, Dirichletove vrste, Riemannova funkcija, Praštevilski izreki, Funkcije Čebiševa, Mangoldtove funkcije, Selbergove formule, Praštevila v aritmetičnem zaporedju, Dirichletove L-funkcije, Fourierova anliza na končnih Abelovih grupah, Karakterji na končnih Abelovih grupah, Poissonova sumacijska formula, Zadnji Fermatov izrek in Riemannova domneva.

Temeljna literatura

• Horn in Johnson: Matrix Analysis, Cambridge 1985.
• Bhatia: Matrix Analysis, Springer-Verlag, 1997.
• M. Coste: Introduction to semialgebraic geometry, http://name.math.univ-rennes1.fr/michel.coste/articles.html
• A. Prestel, C.-N. Delzell: Positive polynomials, From Hilbert's 17th problem to real algebra, Springer Monographs in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 2001.
• J. Bochnak, M. Coste, M.-F. Roy: Real algebraic geometry, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) 36. Springer-Verlag, Berlin, 1998.
• A. Brondsted: An introduction to convex polytopes.
• B. Grunbaum: Convex polytopes.
• J. Stoer, C. Witzgall: Convexity and optimization in finite dimensions. 
• M. R. Murty: Problems in Analytic Number Theory, GTM 206, Springer 2001.
• M. B. Nathanson: Elementary Methods in Number Theory, GTM 195, Springer 2000.
• G. Tenenbaum: Introduction to analytic and probabilistic number theory, Cambridge 1995.
  

Predvideni študijski dosežki

/

Metode poučevanja in učenja

Predavanja, konzultacije, reševanje problemov.

Pogoji za vključitev v delo oziroma za opravljanje študijskih obveznosti

Splošni pogoji za vpis na doktorski študij.

Metode ocenjevanja in ocenjevalna lestvica

• pisni izpit (domače naloge), ustni izpit
• ocene: 1-5 (negativno), 6-10 (pozitivno) (po Statutu UL)

Metode evalvacije kakovosti

Študentska anketa (univerzitetna in interna), samoevalvacija.

Sestavljalec učnega načrta

prof. dr. Tomaž Košir

Izvajalci

• prof. dr. Boris Lavrič
• izred. prof. dr. Janko Bračič
• prof. dr. Matej Brešar
• prof. dr. Matjaž Omladič
• prof. dr. Tomaž Košir
• prof. dr. Peter Šemrl
• izred. prof. dr. Primož Potočnik
• izred. prof. dr. Jaka Cimprič
• doc. dr. Janez Bernik
• doc. dr. Primož Moravec
• doc. dr. Igor Klep
• doc. dr. Karin Cvetko Vah
• doc. dr. Damjana Kokol Bukovšek
• doc. dr. David Dolžan