Analiza 1

Cilji in predmetno specifične kompetence

Študent spozna osnovne pojme matematične analize, kot so limita, zveznost, odvod in integral funkcije ene realne spremenljivke, številske in funkcijske vrste, metrični prostori. Analiza I sodi med temeljne predmete pri študiju matematike.

Opis vsebine

Številski sistemi
Aksiomi obsega. Urejenost. Natančna zgornja meja. Dedekindov aksiom. Evklidski prostori. Preslikave in funkcije. Moč množice. Kardinalna števila.

Številska zaporedja
Stekališče in limita. Cauchyjev kriterij. Algebraične operacije s konvergentnimi zaporedji. Monotona zaporedja. Elementarna teorija številskih vrst. Konvergenca. Vrste s pozitivnimi členi. Cauchyjev kriterij. Algebraične operacije. Konvergenčni kriteriji. Potenčne vrste. Absolutna in pogojna konvergenca. Leibnizev kriterij. Cauchyjev produkt vrst.

Funkcije ene spremenljivke
Zveznost. Limitne vrednosti. Lastnosti zveznih funkcij. Pregled zveznosti elementarnih funkcij.

Odvod funkcije
Geometrijski in fizikalni pomen. Diferencial in tangentna aproksimacija. Pravila za odvajanje. Rollov in Lagrangeev izrek. Uporaba pri analizi funkcij. Višji odvodi. L'Hôpitalovi izreki.

Nedoločeni in določeni integral funkcije ene spremenljivke. Izreki o obstoju integrala. Lastnosti integrala. Povezava med določenim in nedoločenim integralom. Izreki o povprečni vrednosti. Posplošeni integrali. Uporaba. Integracijske metode.

Konvergenca funkcijskih zaporedij in vrst
Člensko odvajanje in integriranje. Taylorjeva formula z ostankom in uporaba. Vrste nekaterih elementarnih funkcij.

Topologija Evklidskih prostorov
Stekališča množic in zaporedij. Limita zaporedja. Odprte in zaprte množice. Cauchyjeva zaporedja in polnost. Kompaktnost. Heine-Borelov izrek. Zvezne preslikave. Banachov izrek o obstoju negibne točke skrčitve.

Temeljna literatura

• I. Vidav: Višja matematika I, DMFA-založništvo, Ljubljana, 1994.
• N. Prijatelj: Uvod v matematično analizo I, DMFA-založništvo, Ljubljana, 1980.
• S. Lang: Undergraduate Analysis, 2nd edition, Springer, New York, 1997.
• W. Rudin: Principles of Mathematical Analysis, 3rd edition, McGraw-Hill, New York-Auckland-Düsseldorf, 1976.
• R. S. Strichartz: The Way of Analysis, Jones & Bartlett, Boston, 2000.
• K. A. Ross: Elementary Analysis: The Theory of Calculus, Springer, New York-Heidelberg, 2003.

Predvideni študijski dosežki

Znanje in razumevanje
Razumevanje diferencialnega in integralskega računa funkcij ene realne spremenljivke ter sorodnih tem. Uporaba razvitih metod v geometriji in naravoslovju.

Uporaba
Analiza I sodi med temeljne predmete pri študiju matematike, uporaba sega v naravoslovje in na druga področja znanosti.

Refleksija
Razumevanje teorije na podlagi primerov in uporabe.

Prenosljive spretnosti – niso vezane le na en predmet
Postavitev problema, izbira metode, reševanje problema, analiza rezultata na primerih. Formulacija problemov v matematičnem jeziku. Spretnost uporabe literature.

Metode poučevanja in učenja

Predavanja, vaje, domače naloge, konzultacije.

Pogoji za vključitev v delo oziroma za opravljanje študijskih obveznosti

Opravljen izpit iz vaj je pogoj za pristop k izpitu iz teorije.

Metode ocenjevanja in ocenjevalna lestvica

• 4 kolokviji namesto izpita iz vaj, izpit iz vaj, izpit iz teorije
• ocene: 1-5 (negativno), 6-10 (pozitivno) (po Statutu UL)

Metode evalvacije kakovosti

Študentska anketa (univerzitetna in interna), samoevalvacija.

Sestavljalec učnega načrta

• prof. dr. Miran Černe
• prof. dr. Franc Forstnerič
• prof. dr. Josip Globevnik