Študijski program: Matematika - smer računalništvo z matematiko
Letnik študija: 2
Semester: prvi in drugi

Predavanja: 90 ur
Vaje: 60 ur
Seminar: 0 ur

Število ECTS kreditov: 13

Algebra II

Osnovni namen predmeta

Študent spozna osnovne algebrske strukture - grupe, kolobarje, obsege, mreže - skupaj s spremljajočimi pojmi, kot so podstruktura, homomorfizem, kvocientna struktura. Dalje predmet študenta uvede v nekatere osnovne pojme teorije števil.

Vsebina

Normirani prostori
Norma. Skalarni produkt. Ortogonalnost, ortogonalni sistemi, ortogonalizacija. Adjungirani operator v smislu skalarnega produkta. Simetrični, unitarni in normalni operatorji. Norma operatorja in matrike. Matrična zaporedja in vrste. Funkcije matrik.

Kvadratične forme
Transformacija kvadratične forme glede na splošno linearno grupo in glede na ortogonalno grupo. Zakon vztrajnosti. Pozitivno definitne forme. Uporaba v geometriji in fiziki.

Grupe
Grupe in polgrupe. Podgrupe, edinke, kvocientne grupe. Homomorfizmi, avtomorfizmi. Produkti. Končne grupe, permutacijske grupe.

Abelove grupe
Abelove grupe kot Z-moduli. Direktna vsota. Proste Abelove grupe. Končno generirane Abelove grupe.

Kolobarji
Podkolobarji in ideali, kvocientni kolobarji. Homomorfizmi. Obsegi in polja, karakteristika. Privzem enote. Polje ulomkov.

Razstavljanje v kolobarjih
Deljivost in razstavljanje. Gaussovi kolobarji. Glavni in noetherski kolobarji. Evklidov logaritem in evklidski kolobarji. Cela kompleksna števila. Eulerjeva funkcija.

Polinomi
Polinomi ene spremenljivke. Ničle polinomov. Razstavljanje polinomov. Polinomi več spremenljivk. Simetrični polinomi.

Razširitve polj
Razširitev z enostavno adjunkcijo. Eksistenca korenov algebraičnih enačb. Končne razširitve. Razpadno polje polinoma in algebraično zaprtje polja.

Mreže
Urejenostna in algebraična struktura mreže, osnovne lastnosti. Distributivne mreže; Boolove algebre in Boolovi kolobarji. Modulske mreže.

Povezanost z drugimi predmeti

Potrebno znanje: Algebra I, Analiza I
Pogoj za predmeta: Topologija II, Algebra III

Študijska literatura

I. Vidav: Algebra, DMFA, Ljubljana, 1972.
N. Jacobson: Lectures on Abstract Algebra I-II, Springer, Berlin.
S. Lang: Algebra, Addison-Wesley, Reading, 1965.

Obveznosti študenta

4 kolokviji, pisni in ustni izpit.