Študijski program: Matematika - smer računalništvo z matematiko
Letnik študija: 2
Semester: prvi in drugi

Predavanja: 120 ur
Vaje: 120 ur
Seminar: 0 ur

Število ECTS kreditov: 18

Analiza II

Osnovni namen predmeta

Analiza II spada med osnovne predmete pri študiju matematike vseh usmeritev. Tu si pridobi slušatelj del pripomočkov, nujno potrebnih za študij specialnih predmetov.

Vsebina

Funkcije več spremenljivk
Evklidski prostor Rn kot metrični prostor. Kompaktne množice v Rn. Zaporedja v Rn. Zveznost preslikav iz Rn v Rm. Vektorske funkcije: zveznost in odvedljivost. Parametrično izražanje krivulj. Dolžina loka. Parcialni odvodi in diferenciabilnost funkcij več spremenljivk. Višji parcialni odvodi. Taylorjeva formula. Diferencial preslikave f : Rn  Rm. Jacobijeva matrika. Diferencial kompozita dveh preslikav. Izrek o implicitni funkciji. Obstoj inverzne preslikave. Prosti in vezani ekstremi.

Pravi in nepravi integrali s parametrom
Zveznost, odvajanje in integriranje integralov s parametrom. Funkciji gama in beta.

Lebesguova mera in integral v Rn
Merljive množice. Lastnosti Jordanove in Lebesguove mere. Stopničaste in merljive funkcije. Lebesguova integrabilnost. Konvergenčni izreki. Fubinijev izrek. Prostori L p , posebej L 2 , kot primer Hilbertovega prostora.

Fourierjeve vrste
Splošna teorija, trigonometrijska Fourierjeva vrsta. Fourierjev integral in Fourierjeva transformacija.

Krivulje in ploskve
Analitično izražanje, spremljajoči elementi. Ukrivljenost, prva in druga fundamentalna forma.

Vektorske diferencialne operacije na skalarnih in vektorskih poljih
Operator nabla in Laplaceov operator. Mnogoterni integral. Greenova formula. Krivuljni in ploskovni integrali (lastnosti, eksistenca, računanje). Gaussov in Stokesov izrek.

Funkcije kompleksne spremenljivke
Holomorfne funkcije.Konformne preslikave. Grupe Mobiusovih preslikav. Elementarne analitične funkcije. Riemann-Stieltjesov integral v kompleksnem. Cauchyjev izrek in Cauchyjeva formula. Razvoj analitičnih funkcij v vrsto in posledice. Laurentova vrsta. Izolirane singularne točke. Residui in njihova uporaba. Vrste in neskončni produkti analitičnih funkcij. Razvoj po glavnih delih.

Povezanost z drugimi predmeti

Potrebno predznanje: Analiza I
Pogoj za večino predmetov v 3. in 4. letniku

Študijska literatura

I. Vidav: Višja matematika II, DZS, Ljubljana 1979.
G. M.Fihtengoljc: Osnovy matematičeskogo analiza II, Fizmatgiz, Moskva 1956.
T. M. Apostol: Calculus II, Blaisdell, New York-London 1962.

Obveznosti študenta

4 kolokviji, ustni izpiti.