%
%   IZPITNE NALOGE IZ PREDMETA
%
%   IZBRANA POGLAVJA IZ ANALIZE IN GEOMETRIJE
%
%   II. SEMESTER, JUNIJ 2004
%
%
%_______________________________________________________


\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{latexsym}
\parskip 8pt plus 2pt minus 2pt
\oddsidemargin 5pt
\evensidemargin 5pt
\textheight 9in
\textwidth 6in
\topmargin -.5in

\begin{document}

\vskip 2cm
\centerline{Univerza v Ljubljani, FMF, Oddelek za matematiko}
\centerline{Podiplomski \v studij matematike - raziskovalna smer}

\vskip 1cm

\centerline{ {\bf Izpitne naloge iz predmeta}} 
\medskip
\centerline{ {\bf IZBRANA POGLAVJA IZ ANALIZE IN GEOMETRIJE, 2. del}}
\medskip 
\centerline{{\bf Predavatelj: dr. Pavle Saksida}}
\medskip
\centerline{ \bf 16. junij 2004}

\vskip 2cm


\noindent  Prosim, da re\v sitvam prilo\v zite podpisano izjavo, 
da ste naloge re\v sevali samostojno. Uporabljate lahko  
razpolo\v zljivo literaturo, za morebitno pomo\v c ter 
nasvete se lahko obrnete name. Re\v sitve so 
za\v zelene do 16.\ septembra 2004. Lepo prosim, da me 
opozorite na morebitne napake ali nepopolnosti v tekstu.

\vskip 1cm

\noindent{\bf 1.} 

Naj bo $M$ gladka mnogoterost in naj bosta $X, Y \in \Gamma (M)$ dve gladki 
vektorski polji, katerih Liejev oklepaj je identi\v cno enak $0$:
$$
{\cal L}_X Y =  - {\cal L}_Y X = [X, Y] = 0
$$
S $\Phi ^X_t, \Phi ^Y_t \colon M \to M$ kot obi\v cajno ozna\v cimo tokova 
vektorskih polj  $X, Y$. Odsekoma gladka krivulja
$\gamma \colon [0, 4 s] \to M$ naj bo podana s 
predpisom:
\begin{equation}
\gamma (t) = \left\{ \begin{array}{ll}
                              \Phi^X_t(m) & t \in [0, s] \\
                              \Phi^Y_t(\Phi^X_t(m)) & t \in [s, 2s] \\
                              \Phi^X_{- t}(\Phi^Y_t(\Phi^X_t(m))) & t \in [2s, 3s] \\
                              \Phi^Y_{- t} (\Phi^X_{- t}(\Phi^Y_t(\Phi^X_t(m)))) & t \in [3s, 4s]
                              \end{array}
                              \right. \> .
\label{square}
\end{equation}
Doka\v zi, da je krivulja $\gamma$  sklenjena.

\vskip 1cm

\noindent {\bf 2.} 

Naj bo $\pi \colon E \to M$ vektorski sve\v zenj s kon\v cnodimenzionalnim
vlaknom $V$, mnogoterost $M$ pa naj bo ista kot v prvi nalogi. Naj bo 
$$
\nabla \colon \Omega^0(E) \to \Omega^1(E)
$$
poljuben kovariantni odvod na sve\v znju $E$. Za vsako to\v cko $v_m \in E_m = \pi^{-1}(m)$
ozna\v cimo z
$$
\gamma^{v_m}(t) \colon [0, 4s] \to E
$$
kovariantno konstantni dvig krivulje $\gamma \colon [0, 4s ] \to M$, podane
s formulo (\ref{square}) iz prve naloge, za\v cetna vrednost dviga pa naj bo
$v_m$. Velja torej
$$
\pi(\gamma^{v_m}) = \gamma \quad, \quad 
\nabla_{\dot{\gamma}(t)}\gamma^{v_m}(t) = 0 \quad , \quad \gamma^{v_m}(0) = v_m \ .
$$
Preslikava
$$
T_s \colon E_m  \to E_m
$$
naj bo podana s predpisom
$$
T_s (v_m) = \gamma^{v_m}(4 s) \ .
$$
Doka\v zite:
\begin{description}
\item{(a)} Preslikava $T_s$ je linearna.
\item{(b)} Naj bo $F_{\nabla} \in \Omega^2({\rm End}(E))$ ukrivljenost kovariantnega odvoda 
$\nabla$. Tedaj velja
$$
T_s = {\rm Id} +  s^2(F_{\nabla})_m(X, Y) + {\cal O}(s^4) \ .
$$
Pri tem je ${\rm Id} \colon E_m \to E_m$ identi\v cna preslikava, $X, Y \in \Gamma (M)$
pa sta vektorski polji iz prve naloge.
\end{description}

\vskip 0.5 cm

\noindent {\bf Nasvet:}  Prenesite nalogo v kontekst glavnega sve\v znja $\pi \colon P \to M$, 
kateremu je $\pi \colon E \to M$ pridru\v zen. Opazujte horizontalni dvig krivulje $\gamma$
v $P$.


\vskip 1cm

\noindent {\bf 3.}

Naj bo $(M, g)$ $n$-dimenzionalna
Riemannova mnogoterost z metriko $g$, in naj bo
$$
\nabla \colon \Omega^0 (T M) \to \Omega ^1 (T M)
$$
Levi-Civit\` ajeva povezava usklajena z metriko $g$. Naj bo mnogoterost
$(M, g)$ plo\v s\v cata. To pomeni, da je
$$
F_{\nabla} = 0 \ , 
$$
kjer je $F_{\nabla}$ ukrivljenost $\nabla$.
Doka\v zite, da tedaj okoli vsake to\v cke $m \in M$ obstaja lokalna karta
$$
\Phi \colon V \subset {\mathbb R}^n \to U \subset M, 
$$
kjer je $U$ okolica $m$, za preslikavo $\Phi $ pa velja
$$
g( D_x \Phi (X), D_x \Phi (Y)) = \langle X, Y \rangle
$$
za vsako to\v cko $x \in V$ in vsak par vektorjev $X, Y \in {\mathbb R}^n$.
Z drugimo besedami, $M$ je lokalno izometri\v cna $n$-dimenzionalnemu
evklidskemu prostoru.

\vskip 0.5cm

\noindent {\bf Namig:} Verjetno je obstoj izometrije $\Phi$ najla\v ze 
dokazati tako, da jo konstruirate s pomo\v cjo smiselno izbranih
vektorskih polj.

\vskip 1cm
\newpage

\noindent {\bf 3.}

\noindent Naj bo $G$ poljubna kompaktna Liejeva grupa. Znano je, da na vsaki kompaktni
Liejevi grupi obstaja levo invariantna volumska forma ${\rm d}g$, ki podaja bi-invarianten
integral $f \mapsto \int_G f(g) \ {\rm d}g$ na $G$. To pomeni:
$$
\int_G f(g \cdot h) \ {\rm d}g =  \int_G f(h \cdot g) \ {\rm d}g =  \int_G f(g) \ {\rm d}g
\quad \mbox{za vsak fiksen}  \> h \in G  \> .
$$
\noindent (a) S pomo\v cjo tega integrala doka\v zite, da na vsaki kompaktni Liejevi grupi $G$
obstaja bi-invariantna Riemannova metrika $\langle - , - \rangle $;
$$
\langle D_g L_h (X_g), D_g L_h (Y_g) \rangle _{ h g} =
\langle D_g R_h (X_g), D_g R_h (Y_g) \rangle _{ g h} =
\langle X_g, Y_g\rangle _ g, \quad  \forall \> X_g, Y_g \in T_g G \ .
$$
Pri tem sta $D_g L_h \colon T_g G \to T_{h g} G$ in $D_g R_h \colon  T_g G \to
T_{g h} G$ odvoda leve oz. desne translacije v $G$.

\noindent (b) 
Naj bodo $X, Y$ in $Z$ poljubna tri levo-invariantna vektorska polja na $G$.
Doka\v zite, da v vsaki to\v cki $g\in G$ velja
$$
\langle [X, Y], Z \rangle _g = \langle Y, [Z, X] \rangle _g \ .
$$

\vskip 1cm


\noindent {\bf 4.}

Ta naloga ilustrira tesno povezavo med ukrivljenostjo in nekomutativnostjo 
Liejevih grup.
Naj bo $G$ spet kompaktna Liejeva grupa in  
$$
\nabla \colon \Omega^0(TG) \to \Omega^1(TG)
$$
Levi-Civit\`ajev kovariantni odvod za  bi-invariantno metriko 
$\langle - , - \rangle $, opisano v prej\v snji
nalogi. Doka\v zite:

\noindent (a)  Za poljubni levo-invariantni vektorski
polji $X, Y \in \Gamma_G(G) \subset \Gamma (G) = \Omega^0(TG)$ velja
$$
\nabla _X Y = \frac{1}{2}[X, Y] \ .
$$


\noindent (b) Naj bodo $X$, $Y$, in $Z$ tri levo-invariantna polja na $G$. Za
ukrivljenost
$$
F_{\nabla} \colon \Omega^0({\rm End}(TG)) \to \Omega^2({\rm End}(TG))
$$
Levi-Civit\` ajeve povezave $\nabla$, prirejene bi-invariantni metriki, 
velja
$$
F_{\nabla} (X, Y) Z = \frac{1}{4} [  [X, Y] , Z ] .
$$

\noindent (c) Za poljubna \v stiri levo-invariantna polja imamo torej
$$
\langle F_{\nabla} (X, Y) Z, W \rangle = \frac{1}{4} \langle [X, Y], [Z, W] \rangle
$$
in \v se posebej
\begin{equation} 
\langle F_{\nabla} (X, Y) X, Y \rangle = \frac{1}{4} \
\| [X, Y] \| ^2 \ .
\label{sectionalLie}
\end{equation}

\vskip 0.5cm

\noindent {\bf Opombi:}

\noindent (1.) Pri to\v cki (b) boste morda sprva dobili druga\v cno
formulo, ki pa se jo na zgoraj navedeno da prevesti z uporabo Jacobijeve 
identitete. \v Ce \v zelite, se lahko zadovoljite tudi z druga\v cno 
formulo v to\v cki (b), bistveno pa je, da doka\v zete (v navedeni obliki) 
formulo (\ref{sectionalLie}).

\noindent (2.) Totalno geodetska podmnogoterost $N \subset M$ Riemannove
mnogoterosti $(M, g)$ je podmnogoterost, ki ustreza naslednjemu pogoju: Naj bo 
$\gamma \colon (- \epsilon , \epsilon) \to M$ poljubna geodetska 
krivulja v $M$, za katero velja $\gamma (0) \in M$ in  
$\dot{\gamma}(0) \in T_{\gamma (0)}N \subset T_{\gamma (0)} M$. Tedaj le\v zi
v $N$ vsa krivulja $\gamma$; $\gamma (- \epsilon, \epsilon) \subset ¢N$.
Geodetske 
podmnogoterosti so torej "prave" podmnogoterosti v smislu
Riemannove geometrije. Lahko je videti, da so vse totalno geodetske
ploskve $N$, ki vsebujejo enoto $e$ v kompaktni Liejevi grupi $G$, oblike 
$$
N = {\rm Exp} ({\rm Span} (X_e, Y_e)) \ ,
$$
tiste, ki $e$ ne vsebujejo, pa so translati zgornjih. Z nekaj premisleka
se vidi, da formula 
(\ref{sectionalLie}), evaluirana v $e$, podaja natanko Gaussovo ukrivljenost ploskve
$N$ v to\v cki $e\in N$. S pomo\v cjo bi-invariantnosti metrike lahko
nato sklepamo, da so vse totalno geodetske ploskve v kompaktni Liejevi 
grupi $G$ povsod  pozitivno ukrivljene.


\vskip 1cm


\noindent {\bf 5.}


Spomnimo se, da je Hopfova fibracija glavni sve\v zenj 
$\pi \colon S^3 \to S^2$ s strukturno grupo $U(1) = \{ e^{i t} ; t \in [0, 2 \pi)\}$.
Delovanje $\rho$ grupe $U(1)$ na 
$$
S^3 = \{ (z_1, z_2) \in {\mathbb C}^2; 
| z_1|^2 + | z_2|^2 = 1\}
$$ 
je podano s predpisom
$$
\rho _{e^{it}}(z_1, z_2) = (e^{i t} z_1 , e^{i t} z_2) \> .
$$
Projekcija sve\v znja je torej 
$$
\pi (z_1, z_2) = [z_1, z_2] \>,
$$
kjer sta $[z_1, z_2]$ homogeni koordinati to\v cke $\pi (z_1, z_2) \in 
{\mathbb C}{\mathbb P}^1 = S^2$.

Naj bo $\pi \colon E \to S^2$ vektorski sve\v zenj z vlaknom ${\mathbb C}$, ki je
prirejen Hopfovi fibraciji $\pi \colon S^3 \to S^2$ glede na naravno delovanje
grupe $U(1)$ na ${\mathbb C}$. S pomo\v cjo kake smiselno izbrane povezave
na $E$ oz. na Hopfovi fibraciji izra\v cunajte Chernov razred $[c_1] \in H^2_{DR}(S^2)$
sve\v znja $E$.

\vskip 0.5 cm

\noindent {\bf Nasvet:} 
Pomagate si lahko s povezavo, katere horizontalna distribucija na glavnem 
sve\v znju $\pi \colon S^3 \to S^2$ je podana takole: 
Na $S^3 \subset {\mathbb R}^4$ imamo naravno Riemannovo metriko, ki jo
sfera podeduje od ${\mathbb R}^4$. Za vsako to\v cko $m \in S^3$  naj bo
$$
{\rm Hor}_m = ({\rm Vert}_m)^{\perp} = (\frac{\rm d}{{\rm d}t}|_{t=0} 
(\rho_{e^{i t}} (m))^{\perp} \subset T_m S^3 ,
$$
 kjer  $\perp$ pomeni ortogonalni komplement glede na naravno metriko
 v $T_m S^3$.



\end{document}