Home > News > Leon Lampret, Klasična Morsova teorija, 1. del

Leon Lampret, Klasična Morsova teorija, 1. del

Date: 5. 10. 2012
Source: Topology seminar
Ponedeljek, 8.10. 2012, ob 12. uri, IZJEMOMA V PREDAVALNICI PLEMLJEV SEMINAR, Jadranska 19/III.

Povzetek 1. in 2. dela:

Naj bo X sklenjena gladka mnogoterost in f: X->ℝ gladka funkcija. Če je vsaka točka p∈X, ki je kritična (tj. odvod D(f)p je ničelni vektor), tudi neizrojena (tj. drugi odvod D2(f)p je obrnljiva matrika), potem je f Morsova funkcija. V okolici kritične točke p se Morsova funkcija f izraža kot polinom f(p) - Σki=1 xi + Σni=k+1 xi, in številu k pravimo indeks točke p (glede na f). Morsove funkcije na X tvorijo gosto podmnožico v prostoru C(X,ℝ) vseh zveznih funkcij. Za dano Morsovo funkcijo f: X->ℝ in a∈ℝ definiramo podnivojno množico Xa={p∈X; f(p)≤a} in nivojno množico X{a}={p∈X; f(p)=a}. Ko število a povečujemo, množica Xa raste. Če na intervalu [a,b] ni kritičnih vrednosti, sta mnogoterosti Xa in Xb difeomorfni. Če [a,b] vsebuje sliko le ene kritične točke, ki je indeksa k, pa je Xb dobljen iz Xa z dodajanjem k-ročaja, tj. na Xa nalepimo BkxBn-k=:Hk vzdolž Sk-1xBn-k. Vsaka Morsova funkcija torej inducira dekompozicijo na ročaje: X=Hk1∪...∪Hkm, kjer je m število kritičnih točk. Vsaka dekompozicija na ročaje pa inducira homotopsko ekvivalenco med X in CW-kompleksom, ki ima toliko k-celic kot ima X kritičnih točk indeksa k. Zato je k-to Bettijevo število od X (=prosti rang k-te homološke grupe) kvečjemu manjši od števila kritičnih točk indeksa k