Jurij Volčič: Hilbertov 17. problem za nekomutativne racionalne funkcije

V enem izmed problemov na svojem slavnem seznamu leta 1900 se je Hilbert vprašal, ali se da vsaka pozitivna racionalna funkcija zapisati kot vsota kvadratov racionalnih funkcij. Artinov pritrdilni odgovor 27 let kasneje predstavlja preboj v realni algebraični geometriji. Predavanje bo naslovilo podobno vprašanje za nekomutativne racionalne funkcije, njihove matrične evalvacije in pozitivno semidefinitnost. Predstavljen bo izrek o pozitivnosti na matričnih množicah podanih z linearno matrično neenakostjo. Ključni vmesni korak je razširitveni izrek o obrnljivih evalvacijah linearnih matričnih šopov; ta rezultat je bolj kot s pozitivnostjo povezan s teorijo upodobitev. Opis pozitivnih nekomutativnih racionalnih funkcij med drugim prispeva k optimizaciji; iskanje največje lastne vrednosti nekomutativne racionalne funkcije se sedaj prevede na reševanje semidefinitnega programa. Na koncu bomo primerjali domet polinomskih in racionalnih certifikatov pozitivnosti.