Nik Stopar: Gröbnerjeve baze in algoritem deljenja v k[x1,x2,...,xn]

Povzetek: V teoriji polinomov ene spremenljivke je eno glavnih orodij algoritem deljenja, ki ga spoznamo že v srednji šoli. Kljub svoji enostavnosti ima nekatere presenetljivo globoke posledice. Pomaga nam na primer opisati strukturo idealov v k[x]. Ta algoritem lahko naravno posplošimo na polinome večih spremenljivk, kjer je smiselno deliti z več kot eno funkcijo. Vendar posplošeni algoritem deljenja v splošnem nima tako lepih lastnosti, kot algoritem v eni spremenljivki, saj na primer ostanek pri deljenju ni nujno enoličen. V ta namen vpeljemo Gröbnerjeve baze, na katerih se algoritem obnaša veliko
bolje. Če delimo z Gröbnerjevo bazo, ima algoritem deljenja večino lastnosti, ki jih ima algoritem deljenja v eni spremenljivki. Gröbnerjeve baze imajo poleg te še veliko drugih lepih lastnosti in aplikacij.