Marjetka Krajnc: Geometrijska interpolacija s parametričnimi polinomskimi krivuljami
Interpolacijo srečujemo na mnogih področjih matematike. Predvsem kot nasvet, kako iz nekaj znanih podatkov sklepati na naravo matematičnega objekta v celoti. Na primer, iz vrednosti funkcije, ki jo poznamo le v nekaj točkah, na vrednosti v vseh drugih. Splošni koncept interpolacije je preprost. V družini objektov določenega tipa iščemo tistega, ki se ujema z aproksimiranim objektom v danih meritvah. Tudi v delu numerične analize, na kateri sloni računalniško podprto geometrijsko oblikovanje, je interpolacija nepogrešljivo orodje. Tu interpoliramo predvsem s parametričnimi krivuljami in ploskvami, ki so polinomske ali odsekoma polinomske. Prav povezava parametrov in meritev (parametrizacija), se izkaže kot ključni problem, saj ima velik vpliv na obliko interpolantov. Geometrijske interpolacijske sheme tu pomenijo pomembno novost. Pri teh shemah interpolacijskih parametrov ne predpišemo vnaprej, ampak dovolimo interpolantu, da si jih izbere sam. Z dodatno svobodo lahko na primer dosežemo višji red aproksimacije, dobimo pitagorejski hodograf, itd. Ker pa geometrijske interpolacijske sheme vključujejo nelinearne enačbe, so vprašanja o obstoju rešitve, enoličnosti in učinkoviti implementaciji običajno izziv. Predstavljenih bo nekaj najnovejših rezultatov na tem področju, ki vključujejo tako geometrijske pogoje za obstoj rešitve kot tudi asimptotični red aproksimacije. Podrobneje bo obravnavana geometrijska interpolacija s kubičnimi ravninskimi polinomskimi krivuljami ter interpolacija s krivuljami s pitagorejskim hodografom.
Dr. Marjetka Krajnc
Univerza v Ljubljani, FMF
