Akad. prof. dr. Franc Forstnerič: Kompleksna analiza in problem Calabi-Yau

Franc Forstnerič

 

Univerza v Ljubljani, FMF

 

Ploskev v Evklidskem prostoru se imenuje (metrično) kompletna, če ima vsaka krivulja od poljubne notranje točke do roba neskončno evklidsko dolžino. Ploskev je minimalna v smislu Eulerja, če lokalno minimizira ploščino. Ploskev z izborom konformne (=kompleksne) strukture se imenuje Riemannova ploskev; njena imerzija v Rⁿ je konformna, če ohranja kote. Konformna imerzija v R³ je minimalna natanko tedaj, ko je harmonična.

 

Leta 1965 je znameniti italijanski geometer Eugenio Calabi postavil domnevo, da je vsaka kompletna minimalna ploskev v R³ neomejena. Domnevo je ovrgel šele Nadirashvili leta 1996 s konstrukcijo omejenih konformnih minimalnih imerzij enotnega diska v R³. Sledila je vrsta rezultatov o obstoju omejenih kompletnih minimalnih ploskev splošnejšega topološkega tipa. Leta 2000 je ta sklop problemov obravnaval Shing-Tung Yau v Millenium Lecture in od tedaj nosi ime "conformal Calabi-Yau problem".

 

Namen predavanja je prikazati naravno povezavo med minimalnimi ploskvami v R³ in holomorfnimi ničenimi krivuljami v C³. Z uporabo novejših metod kompleksne analize je predavatelj skupaj z A. Alarconom (Univerza v Granadi) v letu 2013 pokazal, da vsaka Riemannova ploskev z robom dopušča pravo vložitev v kroglo v C³ kot kompletna holomorfna ničelna krivulja. Realni in imaginarni del take krivulje sta omejeni kompletni konformno imerzirani minimalni ploskvi v R³. To je prvi tovrstni rezultat v literaturi, pri katerem kontroliramo ne le topološki tip izvorne ploskve, ampak tudi njeno konformno strukturo.

 

Predavanje bo v slovenščini ali, v primeru tujih obiskovalcev, v angleščini. Prosojnice bodo v angleškem jeziku

 

http://wiki.fmf.uni-lj.si/wiki/MatematicniKolokviji