Domov > Obvestila > Bor Plestenjak: Računanje ničel sistema dveh polinomov dveh spremenljivk preko determinantnih upodobitev

Bor Plestenjak: Računanje ničel sistema dveh polinomov dveh spremenljivk preko determinantnih upodobitev

Datum objave: 18. 5. 2015
Vir: Seminar za numerično analizo
Sreda, 20.5.2015, od 10h do 11:30h v sobi 3.06 na Jadranski 21
Znano je, da lahko vse ničle polinoma ene spremenljivke stopnje n izračunamo tako, da polinomu priredimo pridruženo matriko reda n in izračunamo njene lastne vrednosti. Tako npr. deluje tudi ukaz roots v Matlabu.

Ali lahko kaj podobnega uporabimo za sistem dveh polinomov dveh spremenljivk? Če za matrike A,B,C velja, da je det(A+xB+yC)=p(x,y), pravimo da so A,B,C determinantna upodobitev polinoma p. Teoretično za vsak polinom p(x,y) maksimalne skupne stopnje n obstaja determinantna upodobitev z matrikami reda n, a ni znano, kako bi jo lahko učinkovito skonstruirali. Namesto tega znamo zgraditi upodobitve z večjimi matrikami, ki so še vedno uporabne. Pokazali bomo, kako lahko pridemo do determinantne upodobitve z matrikami reda n^2/4, ki so primerne tudi za matrične polinome, in z matrikami velikosti n^2/6. 

Če za vsakega izmed polinomov p(x,y) in q(x,y) poiščemo determinantno upodobitev, dobimo dvoparametrični problem lastnih vrednosti, ki je singularen. Končne lastne vrednosti se ujemajo z rešitvami sistema p(x,y)=0 in q(x,y)=0. Tako pridemo do numerične metode, ki je za polinome nizke stopnje (n<10) hitrejša od Mathematice in namenskega paketa PHCLab, ki uporablja metodo zveznega nadaljevanja. 

Vsaka enostavna konstrukcija determinantne upodobitve s še manjšimi matrikami bi izboljšala učinkovitost metode. Če pridete na seminar, se vam mogoče utrne kakšna ideja. Vse so dobrodošle!