Marjeta Knez: Geometrijska interpolacija ortonormiranih ogrodij s prostorskimi PH krivuljami stopnje 7 in pripadajočim ER ogrodjem

Datum objave: 7. 12. 2021
Seminar za numerično analizo
sreda
8
december
Ura:
10.15 - 11.00
Lokacija:
soba 3.06 na Jadranski 21

Parametrično podane (prostorske) polinomske krivulje s pitagorejskim hodografom (PH krivulje) so karakterizirane z lastnostjo, da je njihova enotska tangenta racionalna, kar implicira veliko pomembnih lastnosti. Ena izmed njih je ta, da jim lahko pripišemo racionalno ortonormirano (ON) ogrodje imenovano Euler-Rodriguesovo (ER) ogrodje, pri katerem je prvi vektor enak enotski tangenti. ER ogrodja pa lahko uporabimo za konstrukcijo racionalnih gibanj togih teles, pri čemer se težišče togega telesa giblje po trajektoriji, ki jo določa krivulja, rotacijski del gibanja pa je določen s pripadajočim ON ogrodjem.

Seminar bo razdeljen na dva sklopa. Najprej si bomo ogledali povezavo med geometrijsko zveznostjo PH krivulj in geometrijsko zveznostjo pripadajočih ER ogrodij. Pokazali bomo, kako konstruirati G^k zvezna ER ogrodja ki implicirajo G^(k+1) zvezne PH krivulje. Izpeljane rezultate bomo nato uporabili za konstrukcijo G^2 zveznega zlepka iz PH krivulj stopnje 7 s pripadajočim G^1 zveznim ER ogrodjem. Konstrukcija je povsem lokalna, vključuje pa reševanje kompliciranega nelinearnega sistema treh enačb z dodatnim prostim parametrom. Pri obravnavi obstoja rešitve si zato pomagamo z asimptotično analizo, pri kateri predpostavimo, da so interpolacijski podatki pridobljeni iz podane gladke krivulje opremljene s poljubnim prikrojenim ON ogrodjem (npr. Frenetovim ogrodjem). Pokazali bomo, da v primeru interpolacije Frenetovega ogrodja red aproksimacije le 4, v primeru interpolacije kateregakoli drugega prikrojenega ogrodja (tudi rotacijsko minimizirajočega ogrodja) pa je red aproksimacije optimalen, to je 6. Izpeljane teoretične rezultate bomo ponazorili z numeričnimi zgledi.