Andrej Perne: Modificirana Fourierova vrsta in razvoj po lastnih funkcijah poliharmoničnih operatorjev (3. del)

Predavanje od 10h do 11h

Andrej Perne:  Modificirana Fourierova vrsta in razvoj po lastnih funkcijah poliharmoničnih operatorjev (3. del)

Povzetek: 

Namesto klasičnega razvoja v Fourierovo vrsto, si bomo ogledali modificiran pristop, kjer funkcije $\sin{(\pi nx)}$ na intervalu $[-1,1]$ nadomestimo s funkcijami $\sin{(\pi (n-1/2)x)}$, $n \ge 1$.
Za modificiran Fourierov razvoj veljajo analogni teoretični rezultati kot za klasičnega, v uporabi pa ima ta pristop določene prednosti za razvoj analitičnih, neperiodičnih funkcij. Koeficienti tako padajo kot $\mathcal{O}(n^{-2})$ namesto kot $\mathcal{O}(n^{-1})$.
To pa se da še izboljšati, če namesto teh funkcij vzamemo lastne funkcije poliharmoničnih operatorjev, skupaj z Neumannovimi robnimi pogoji. Tedaj dobimo, da koeficienti padajo kot $\mathcal{O}(n^{-q-1})$, kjer je $2q$ red poliharmoničnega operatorja.