Marko Petkovšek: (Ne)odločljivost obstoja polinomskih rešitev linearnih diferencialnih in (q-)diferenčnih enačb

Povzetek. Za navadno homogeno linearno diferencialno enačbo oblike

  p^r(x) y^(r)(x) + ... + p₁(x) y'(x) + p₀(x) y(x) = 0,

kjer so p_i(x) dani polinomi, ni težko poiskati linearnega prostora P vseh polinomskih rešitev: Najprej določimo zgornjo mejo za stopnjo polinomskih rešitev, nato z metodo nedoločenih koeficientov konstruiramo bazo prostora P.

Ko pa dovolimo več spremenljivk, se stvari zapletejo. Videli bomo, da ne obstaja algoritem, ki bi za dano parcialno homogeno linearno diferencialno enačbo s polinomskimi koeficienti ugotovil, ali ima kakšno neničelno polinomsko rešitev ali ne.

Ogledali si bomo še, kako je z analognim problemom pri diferenčnih in q-diferenčnih enačbah.

 

Vabljeni!