Bor Plestenjak: Reševanje singularnega posplošenega problema lastnih vrednosti s perturbacijami (2. del)
Datum objave: 14. 5. 2019
Seminar za numerično analizo
Sreda, 15.05.2019, od 10h do 11h, soba 3.06 na Jadranski 21
Če so vse linearne kombinacije n x n matrik A in B singularne, imamo singularni matrični šop. V tem primeru so lastne vrednosti tiste vrednosti lambda, kjer pride do padca ranga A - lambda*B. Takšne vrednosti je numerično zelo težko izračunati.
Če ima šop (A,B) normalni rang n-k in ga s perturbacijo ranga k dopolnimo do regularnega šopa (A + U*DA*V^H, B + U*DB*V^H), se izkaže, da lastne vrednosti razpadejo na tri skupine, kar lahko izkoristimo tako pri numeričnem računanju kot pri teoretičnih rezultatih. Razporeditev lastne vrednosti v skupino je odvisna od tega, ali sta levi in desni lastni vektor pravokotna na stolpce matrik U in V ranga k iz perturbacije. Pri pravi lastni vrednosti je levi lastni vektor pravokoten na stolpce U, desni pa na stolpce V, pri vseh ostalih lastnih vrednostih pa bodisi en (pri t.i. naključnih lastnih vrednostih) ali oba (pri t.i. predpisanih lastnih vrednostih) izmed teh dveh kriterijev nista izpolnjena.
Pogledali si bomo še dve alternativni konstrukciji, ki na podoben način pripeljeta do končnih pravih lastnih vrednosti singularnega šopa (A,B).
