Raziskovalni projekt (so)financira Javna agencija za raziskovalno dejavnost RS.
Članica UL: Fakulteta za matematiko in fiziko
Šifra projekta: J1-1691
Naziv projekta: Weissova domneva in posplošitve
Obdobje: 1. 7. 2019 - 30. 6. 2023
Letni obseg: 1,45 FTE, cenovna kategorija: B
Vodja: Primož Potočnik
Veda: Naravoslovje
Vsebinski opis projekta:
Tema predlaganega projekta se umešča v presečišče dveh področij: teorije grup in kombinatorike (še posebej teorije grafov). Obravnava temeljno matematično vprašanje: Kako simetričen je lahko določen matematičen objekt? Koliko simetrij lahko ima? To je precej nejasno formulirano vprašanje in zahteva bolj določen kontekst, če iščemo določnejše odgovore. Vprašanje je bilo deležno precej pozornosti v kontekstu diskretnih struktur ̶ še posebej grafov, kjer je pionirsko in prelomno delo Tutteja o kubičnih ločno-tranzitivnih grafih spodbudilo nadaljnje raziskave, ki so kulminirale v globoki in že dolgo nerazrešeni, še vedno odprti domnevi Richarda Weissa o redu grupe avtomorfizmov končnega povezanega lokalno primitivnega ločno-tranzitivnega grafa.
Weissovo domnevo, ki je bila postavljena leta 1987, in ki predstavlja enega izmed najbolj znanih odprtih problemov v algebraični teoriji grafov, lahko formuliramo takole:
Za vsako pozitivno celo število d obstaja konstanta c z naslednjo lastnostjo: Če je X povezan končen graf, v katerem ima vsako vozlišče valenco d, in je G grupa avtomorfizmov grafa X, delujoča tranzitivno na urejenih parih sosednih vozlišč grafa X, in je permutacijska grupa, inducirana z delovanjem stabilizatorja H vozlišča v na njegovi okolici (tj. množici njegovih sosedov) primitivna, potem je red H največ c.
Številni globoki in dolgi članki so bili objavljeni odtlej, vsak od njih je dokazal nek poseben primer domneve, vendar se zdi, da bodo za njen dokaz potrebne sveže ideje.
Cilj predlaganega projekta je raziskati številne nove možne pristope v smeri dokaza Weissove domneve. Prvi pristop je najbližji klasičnim metodam, vendar nameravamo v njem uporabiti nedavno dokazane in globoke rezultate s področja lokalne analize in končnih grup. Drugi pristop je popolnoma nov, osnovan je na pozitivni rešitvi omejenega Burnsideovega problema, ki nam omogoča prevesti Weissovo domnevo na dva ločena problema, o eksponentu in rangu vozliščnega stabilizatorja, kadar je lokalno delovanje primitivno. Tretji pristop, ki ga želimo raziskati, je posplošitev (Weissove domneve) na splošnejše vprašanje o (hitrosti) rasti vozliščnega stabilizatorja glede na red grafa (v primerjavi z redom grafa).
Čeprav se dobro zavedamo, da je dokazati 30 let staro domnevo ambiciozen cilj, ki ga morda ne bomo dosegli v času izvajanja predlaganega raziskovalnega projekta, verjamemo, da nam bodo orodja, ki so nam nedavno postala dostopna, pa tudi odlična raziskovalna skupina, omogočili najmanj to, da dosežemo velik napredek v smeri končne razrešitve domneve, obenem pa izboljšamo naše razumevanje simetrij pri grafih.
