Raziskovalni projekt (so)financira Javna agencija za raziskovalno dejavnost RS.
Članica UL: Fakulteta za matematiko in fiziko
Šifra projekta: J1-2453
Naziv projekta: Matrično konveksne množice in realna algebraična geometrija
Obdobje: 1. 9. 2020 - 31. 8. 2023
Letni obseg: 0,56 FTE, cenovna kategorija: C
Vodja: Igor Klep
Veda: Naravoslovje
Sodelujoče RO, sestava projektne skupine in bibliografske reference
Vsebinski opis projekta:
Konveksnost je osnovni pojem iz geometrije, ki se uporablja za reševanje problemov v mnogih kvantitativnih znanostih. Pri optimizaciji konveksnost vodi do zanesljivih in numerično stabilnih problemov. Konveksna optimizacija se uporablja v teoriji kontrolnih sistemov, komunikacijah in omrežjih, strojništvu, financah, statistiki, teoriji kodiranja itd.
Cilj tega projekta je opredeliti razrede optimizacijskih problemov, ki imajo konveksno naravo, čeprav sprva ne izgledajo tako. Napredek realne algebraične geometrije in teorije nekomutativnih funkcij prinaša nove vznemirljive pristope k temu vprašanju, a pred nami so še številni temeljni izzivi. Projekt jih namerava prebroditi na edinstven način z uporabo novih algebrskih, geometrijskih in analitičnih orodij.
Projekt je zasnovan modularno, iz dveh sklopov, pri čemer se prvi osredotoča na teorijo nekomutativnih funkcij, drugi pa na realno algebraično geometrijo in pozitivnost nekomutativnih funkcij. Prav tako si bomo prizadevali za uporabo pridobljenih izsledkov na sorodnih področjih, kot sta operatorska algebra in kvantna teorija informacij oz. kvantna fizika. Ključna pri tem bosta razvoj algoritmov in njihova implementacija, ki jo nameravamo na spletu dati na razpolago širši znanstveni skupnosti.
Rezultati in dosežki projekta:
Osrednje gonilo naših raziskav je
(P) Katere optimizacijske probleme v matričnih neznankah lahko rešimo s pomočjo LMN-jev ?
V grobem se raziskovalno delo deli na dve veji. Ena se ukvarja z nekomutativno konveksnostjo in analizo, druga pa z nekomutativno realno algebraično geometrijo.
Ključni napredek na področju konveksnosti/analize je bil storjen v člankih (90) in (87). V prvem prispevku (skupaj z mlado raziskovalko, mag. Štrekelj) prvič v teorijo nekomutativne konveksnosti vpeljemo pojem lic in izpostavljenih lic. Ta članek obravnava tudi pojma izpostavljenih točk in (izpostavljenih) lic v neskončno razsežnih matrično konveksnih množicah. Podamo ključno povezavo med matričnimi izpostavljenimi točkami in matričnimi ekstremnimi točkami: matrična ekstremna točka je navadno izpostavljena, če in samo če je matrično izpostavljena. To vodi do rezultatov tipa Krein-Milman za matrično izpostavljene točke, ki je posledica Straszewicz-Klee v klasični konveksnosti: kompaktna matrično konveksna množica je zaprta matrično konveksna lupina njenih matrično izpostavljenih točk. Analogno teorijo prvič izpeljemo tudi za lica matrično konveksnih množic. Med drugim vpeljemo tudi nekomutativen ekvivalent klasične dualnosti konveksnosti, ki povezuje (arhimedska) lica kompaktnih konveksnih množic in (arhimedske) urejene ideale prirejenih funkcijskih sistemov.
Članek (87) se zelo konkretno dotakne gonila (P) za primer razreda optimizacijskih problemov v matričnih spremenljivkah s parametri. (Takšni problemi so centralni npr. v teoriji kontrolnih sistemov.) V pričujočem članku, ki temelji na klasičnih pojmih bilinearnih matričnih neenakosti (BMI) in parcialne konveksnosti, je obravnavana parcialna konveksnost za nekomutativne funkcije. Pokazano je, da nekomutativne racionalne funkcije, ki so delno konveksne, dopuščajo nove realizacije tipa metulj, ki zahtevajo kvadratne korene. Obravnavan je tudi pojem xy-konveksnosti, ki je okrepitev parcialne konveksnosti, ki se pojavlja v povezavi z BMI.
Projekt je bil uspešen tudi na področju realne algebraične geometrije RAG (in njene uporabe na področju kvantne fizike (91, 86)). Omejimo se v tem zapisu na članka (84, 93). V (84) prvič s stališča RAG obravnavamo polinome s sledjo. Univariaten polinom s sledjo je polinom v spremenljivki x in formalnih simbolih sledi Tr(x^j). Takšen izraz lahko naravno ovrednotimo na matrikah, kjer so simboli sledi ovrednoteni kot normalizirane sledi. V članku podamo analog Artinove rešitve Hilbertovega 17. problema: pozitivno semidefiniten univariaten polinom s sledmi je kvocient vsot produktov kvadratov in sledi kvadratov polinomov s sledmi.
Pogumnega koraka naprej smo se lotili v (93). Tukaj smo želeli obravnavati nekomutativne (nc) polinome (tokrat brez formalnih sledi) in njihovo pozitivnost na sled. Takšni polinomi se pojavijo kot neenačbe s sledmi v matričnih ali operatorskih spremenljivkah in so zelo razširjeni v matematiki in fiziki. V članku dokažemo prvi Positivstellensatz za globalno pozitivnost sledi nc polinomov. Analogno Hilbertovemu 17. problemu v klasični RAG je pokazano, da so takšni polinomi šibke vsote hermitskih kvadratov in komutatorjev regularnih nc racionalnih funkcij. V dveh spremenljivkah je ta rezultat še dodatno okrepljen z uporabo novega certifikata o vsotah kvadratov s konkretnimi univariatnimi imenovalci za nenegativne bivariatne polinome.
Certifikate o pozitivnosti sledi v tem članku dobimo s konveksno dualnostjo z reševanjem tako imenovanega problema neomejenih momentov s sledmi, ki izhaja iz nekomutativne teorije integracije in proste verjetnosti. Ob danem linearnem funkcionalu na nc polinomih se ta problem momentov sprašuje, ali gre za skupno porazdelitev integralskih operatorjev, povezanih s von Neumannovo algebro. Dokazan je ekvivalent Havilandovega izreka o rešljivosti tega problema. Poleg tega je prikazana različica Carlemanovega pogoja, ki zagotavlja obstoj rešitve problema momentov. Skupaj s semidefinitno optimizacijo je to nato uporabljeno za dokaz, da vsak pozitivni nc polinom dopušča eksplicitno aproksimacijo v 1-normi na svojih koeficientih z vsotami hermitskih kvadratov in komutatorjev nc polinomov.
Reference PI I. Klep; številčenje je privzeto po PI spletni strani https://users.fmf.uni-lj.si/klep/papers.html
(93) Globally trace-positive noncommutative polynomials and the unbounded tracial moment problem, Mathematische Annalen, in print (with Claus Scheiderer and Jurij Volčič)
(91) Dimension-free entanglement detection in multipartite Werner states, Comm. Math. Phys. 396 (2022) 1051--1070 (with Felix Huber, Victor Magron and Jurij Volčič)
(90) Facial structure of matrix convex sets, J. Funct. Anal. 283 (2022) 109601, 55pp (with Tea Štrekelj)
(89) Sparse Noncommutative Polynomial Optimization, Math. Program. 193 (2022) 789--829 (with Victor Magron and Janez Povh)
(87) Noncommutative partially convex rational functions, Rev. Mat. Iberoam. 38 (2022) 731--759 (with Michael Jury, Mark Mancuso, Scott McCullough and James E. Pascoe)
(86) Optimization over trace polynomials, Ann. Henri Poincaré 23 (2022) 67--100 (with Victor Magron and Jurij Volčič)
(85) Noncommutative polynomials describing convex sets, Found. Comput. Math. 21 (2021) 575--611 (with J. William Helton, Scott McCullough and Jurij Volčič)
(84) Positive univariate trace polynomials, J. Algebra 579 (2021) 303--317 (with James E. Pascoe and Jurij Volčič)
