Raziskovalni projekt (so)financira Javna agencija za raziskovalno dejavnost RS.
Članica UL: Fakulteta za matematiko in fiziko
Šifra projekta: J1-2454
Naziv projekta: Izomorfizmi, izometrije in ohranjevalci
Obdobje: 1. 9. 2020 - 31. 8. 2023
Letni obseg: 0,7 FTE, cenovna kategorija: C
Vodja: Peter Šemrl
Veda: Naravoslovje
Sodelujoče RO, sestava projektne skupine in bibliografske reference
Vsebinski opis projekta:
Ukvarjali se bomo s štirimi tesno povezanimi problemi. Že nekaj časa je znano, kateri operatorski intervali so urejenostno izomorfni in za vsak par izomorfnih operatorskih intervalov je znana splošna oblika urejenostnih izomorfizmov. Urejenostni izomorfizem med dvema operatorskima intervaloma je bijektivna preslikava, ki ohranja urejenost v obe smeri. Ali lahko odvržemo predpostavko bijektivnosti in še vedno dobimo kakšen smiseln strukturni izrek? Bolj natančno, radi bi opisali preslikave iz operatorskega intervala v množico vseh sebi adjungiranih omejenih linearnih operatorjev, ki ohranjajo urejenost v obe smeri. Predvidevamo, da je ta problem v tesni zvezi s problemom maksimalne možne razširitve urejenostnega izomorfizma med dvema operatorskima intervaloma. Eno glavnih orodij pri študiju teh problemov je fundamentalni izrek geometrije hermitskih matrik, ki opiše bijektivne ohranjevalce sosednosti na hermitskih matrikah. Tudi vsi ostali problemi, ki se jih bomo lotili v okviru tega projekta, so v tesni zvezi z ohranjevalci sosednosti.
Strukturni problem za izometrije Grassmannovih prostorov na Hilbertovem prostoru je bil pred kratkim rešen v vsej splošnosti. Tu je Grassmannov prostor identificiran z množico vseh projektorjev z danim fiksnim rangom, razdalja pa je inducirana z operatorsko normo. Ta problem bomo študirali z razdaljami definiranimi z drugimi normami.
Fundamentalni izrek kronogeometrije opiše splošno obliko bijektivnih preslikav na prostoru Minkowskega, ki ohranjajo koherentnost v obe smeri. Naš cilj bo poiskati optimalno verzijo tega rezultata. Radi bi opisali preslikave na prostoru Minkowskega, ki ohranjajo koherentnost samo v eni smeri in to brez privzetka injektivnosti ali surjektivnosti. Zaenkrat smo ta problem uspeli rešiti ob dodatni predpostavki zveznosti.
Podobno bi radi poiskali optimalno verzijo fundamentalnega izreka geometrije Grassmannovih prostorov. Ta izrek opiše splošno obliko bijektivnih preslikav na Grassmannovih prostorih, ki ohranjajo sosednost v obe smeri. Radi bi dobili podoben rezultat brez privzetka bijektivnosti in ob šibkejši predpostavki, da se sosednost ohranja zgolj v eno smer. In še več, radi bi obravnavali take preslikave med različnimi Grassmannovimi prostori. Fundamentalni izrek geometrije Grassmannovih prostorov je mogoče zreducirati na fundamentalni izrek geometrije pravokotnih matrik. Nedavno smo uspeli poiskati optimalno verzijo fundamentalnega izreka geometrije pravokotnih matrik in domnevamo, da nam bodo ideje in tehnike, ki smo jih razvili, pomagale rešiti naš problem.
Rezultati in dosežki programa:
Oznaka cilja: Urejenostni izomorfizmi operatorskih in matričnih intervalov
Opis cilja: Poiskali bomo optimalne verzije izrekov o izomorfizmih operatorskih in matričnih intervalov
Pred začetkom izvajanja tega projekta je bilo znano, kateri operatorski intervali so urejenostno izomorfni in za vsak par urejenostno izomorfnih intervalov je bil poznan opis splošne oblike urejenostnih izomorfizmov med njima. Tu se pojavi več vprašanj. Urejenostni izomorfizem je bijektivna preslikava, ki ohranja urejenost v obe smeri. Lahko je videti, da je bijektivnost nujna predpostavka v neskončno dimenzionalnih prostorih. Kako pa je s tem v končno dimenzionalnem primeru? S tem je tesno povezano vprašanje o maksimalnih razširitvah urejenostnih avtomorfizmov matričnega intervala [0,I]. Bolj natančno nas zanima, kaj so maksimalne odprte povezane podmnožice množice sebiadjungiranih operatorjev (matrik), na katere je mogoče dani avtomorfizem razširiti. Ali so take razširitve enolične? V času, ko smo prijavaljali projekt, je bila povsem nepojasnjena povezava med grupo urejenostnih avtomorfizmov operatorskega intervala [0,I] in grupo urejenostnih avtomorfizmov množice vseh pozitivno semidefinitnih operatorjev. Ti dve grupi sta izomorfni. A je opis splošne oblike urejenostnih avtomorfizmov v primeru množice vseh pozitivno semidefinitnih operatorjev zelo enostaven, medtem ko so bile vse znane karakterizacije elementov grupe urejenostnih avtomorfizmov operatorskega intervala [0,I] podane s precej zapletenimi formulami. Ali je to navidezno protislovnost mogoče pojasniti? Eden od zastavljenih ciljev projekta je bilo odgovoriti na ta vprašanja, a le v matričnem (končnodimenzionlanem) primeru, ki je bistveno lažji od neskončno dimenzionalnega.
Uspelo nam je dobiti rezultate, ki ne samo, da odgovorijo na vsa gornja vprašanja, ampak povedo še bistveno več. In na naše veliko presenečenje smo uspeli te rezultate dobiti v splošnem, ne samo v končnorazsežnem primeru. Sledi kratek opis naših rezultatov, glej [1]. Najprej omenimo, da klasični Loewnerjev izrek pove, da je realna funkcija definirana na odprtem intervalu operatorsko monotona natanko tedaj, ko ima analitično razširitev na zgornjo polravnino kompleksne ravnine, ki slika to polravnino vase (gre za enega najpomembnejših rezultatov v operatorski teoriji; denimo celotna monografija B. Simona, "Loewner's theorem on monotone matrix functions", ki je leta 2019 izšla v eni najuglednejših zbirk matematičnih monografij "Grundlehren Math. Wissen.", je posvečena zgolj temu izreku in različnim dokazom tega izreka). Za ilustracijo tega izreka navedimo preprosto posledico, ki pa je na prvi pogled zelo presenetljiva: na množici vseh pozitvnih operatorjev je kvadratni koren operatorsko monotona funkcija, kvadriranje pa ni operatorsko monotona funkcija. Naj bosta sedaj U in V odprti podmnožici množice vseh sebiadjungiranih operatorjev in naj bo dana preslikava iz U v V. Taka preslikava je urejenostna vložitev, če ohranja urejenost v obe smeri. Vsaka urejenostna vložitev je avtomatično injektivna. Če je še bijektivna, jo imenujemo urejenostni izomorfizem iz U na V. Izkaže se, da je naravno študirati lokalne urejenostne izomorfizme. Naj bo U odprta povezana podmnožica (operatorska domena) množice vseh sebiadjungiranih operatorjev. Preslikava iz U v množico vseh sebiadjungiranih operatorjev je lokalni urejenostni izomorfizem, če za vsak operator A iz U obstajata taki operatorski domeni V in W, da je A element V, V je podmnožica U in je zožitev preslikave na V urejenostni izomorfizem iz V na W. Posplošena zgornja polravnina je množica vseh sebiadjungiranih operatorjev, ki imajo pozitivno invertibilno imaginarno komponento. Glavni izrek v [1] pove, da je preslikava iz U v množico vseh sebiadjungiranih operatorjev lokalni urejenostni izomorfizem natanko tedaj, ko ima ta preslikava enolično zvezno razširitev na unijo množice U in posplošene zgornje polravnine, ki preslika posplošeno zgornjo polravnino biholomorfno nase. S tem smo dobili neskončnodimenzionalen analog klasične Loewnerjeve karakterizacije skalarnih operatorsko monotonih funkcij. Biholomorfnost v našem izreku nadomesti holomorfnost v Loewnerjevem klasičnem izreku, lokalni urejenostni izomorfizmi pa nadomestijo skalarne operatorsko monotone funkcije. V končnih dimenzijah je mogoče to trditev izboljšati. V matričnem primeru dobimo isto trditev za urejenostne vložitve namesto lokalih urejenostnih izomorfizmov. Izredno pomembno je bilo, da smo uspeli dobiti formule za spološno obliko biholomorfnih preslikav posplošene zgornje polravnine in lokalne urejenostne izomorfizme na operatorskih domenah. Izkaže se, da je dovolj študirati zgolj maksimalne razširitve lokalnih urejenostnih izomorfizmov. Le-te je mogoče na naraven način razdeliti v ekvivalenčne razrede. In potem v vsakem ekvivalenčnem razredu lahko poiščemo kanoničnega predstavnika ter zanj zapišemo eksplicitno izražavo. Precej težko je bilo vprašanje, kdaj je maksimalni lokalni urejenostni avtomorfizem kar urejenostni izomorfizem. V posebnem je to vedno res v končnodimenzionalnem primeru. V tem posebnem primeru je mogoče dokazati tudi rezultat o avtomatični zveznosti. To sta glavna razloga, da so rezulati v končnih dimenzijah bistveno lepši kot v splošnem. V matričnem primeru podamo zelo enostavno formulo, ki opiše vse urejenostne vložitve matričnih domen. Le-te so lahko ekvivalentne identični preslikavi. Druga možnost je, da je taka preslikava enaka produktu primerne urejenostne vložitve dane matrične domene v prostor vseh sebiadjungiranih matrik višje dimenzije in preslikave na tej množici matrik, ki je ekvivalentna invertiranju, potem pa moramo iz tako dobljene matrike izrezati ustrezno velik zgornji levi kot. Če to nekoliko zapleteno trditev malce poenostavimo, potem so vse urejenostne vložitve v resnici inducirane bodisi z identiteto bodisi z invertiranjem (induciranost tu pomeni dokaj preprost postopek grobo opisan v prejšnjem stavku). To je zelo presentljiva ugotovitev, ki daleč presega cilje, ki smo si jih zastavili v projektu.
Vsi opisani rezultati so zbrani v čanku:
[1] M. Mori and P. Šemrl, Loewner’s theorem for maps on operator domains, to appear in Canad. J. Math., published online by Cambridge University Press: 14 June 2022, pp. 1-33, https://www.cambridge.org/core/journals/canadian-journal-of-mathematics/firstview
