Raziskovalni projekt (so)financira Javna agencija za raziskovalno dejavnost RS.
Članica UL: Fakulteta za matematiko in fiziko
Šifra projekta: J1-3004
Naziv projekta: Hkratna podobnost matrik
Obdobje: 1. 10. 2021 - 30. 9. 2024
Letni obseg: 0,7 FTE, cenovna kategorija: C
Vodja: Klemen Šivic
Veda: Naravoslovje
Sodelujoče RO, sestava projektne skupine in bibliografske reference
Vsebinski opis projekta :
Eden poglavitnih ciljev teorije upodobitev je opis modulov nad dano algebro. Upodobitev algebre je enolično določena s slikami generatorjev algebre, zato upodobitve lahko identificiramo z množicami matrik, ki ustrezajo določenim lastnostim. Dve upodobitvi sta ekvivalentni natanko takrat, ko sta pripadajoči množici matrik hkrati podobni, kar prevede originalni problem iz teorije upodobitev v linearno algebro.
Namen predlaganega projekta je raziskovanje hkratne podobnosti končnega števila matrik. Osredotočili se bomo na dva vidika omenjenega delovanja, ki sta povezana s teorijo invariant in algebraično geometrijo. Na področju invariant nameravamo poiskati invariante, ki popolnoma karakterizirajo orbite obravnavanega delovanja. To bo bistveno izboljšalo obstoječe rezultate o invariantah, ki jih je mogoče uporabiti le za preverjanje, ali se zaprtji danih dveh orbit sekata. Na področju algebraične geometrije pa nameravamo karakterizirati nerazcepne komponente nekaterih raznoterosti modulov, predvsem tiste, ki so v nekem smislu največje. Poiskali bomo tudi nove razrede algeber, ki imajo nerazcepne raznoterosti modulov. Pri tem bomo odgovorili tudi na nekatera eksplicitna odprta vprašanja.
Naše raziskovanje bo bistveno pripomoglo k raziskavam na področjih linearne algebre, teorije upodobitev in invariantne teorije. Pričakujemo, da bo imelo vpliv tudi na nekatera druga bližnja področja, kot so algebraična geometrija, multilinearna algebra ali funkcionalna analiza.
Rezultati in dosežki projekta:
a) Invariante in orbite za konjugiranje
Na področju vprašanja separirajočih invariant za konjugiranje smo sodelovali s Harmom Derksnom (University of Michigan) in Visujem Makamom (University of Melbourne). V preprintu [2] smo pozitivno odgovorili na dvostransko Hadwin-Larsonovo domnevo o rangih matričnih šopov. Odprto ostaja še vprašanje enostranske verzije Hadwin-Larsonove domneve, ki sprašuje po potrebnih in zadostnih pogojih za m-terici matrik A in B, da je A v zaprtju orbite m-terice B.
Kot je natančno opisano v opisu projekta, orbit splošnih n-teric matrik za konjugiranje ni mogoče klasificirati, saj bi bilo to ekvivalentno klasifikaciji vseh končno razsežnih modulov nad vsemi končno generiranimi algebrami. Je pa mogoče klasificirati orbite n-teric matrik posebnih oblik, s čimer smo se tudi ukvarjali v projektu. Natančneje, ukvarjali smo se z vprašanjem, kakšne so mogoče Jordanove kanonične forme nilpotentnih matrik, ki komutirajo z dano nilpotentno matriko. Pri tem smo sodelovali z Duškom Bogdanićem, Saro Koljančić (oba z Univerze v Banja Luki) in Alenom Đurićem (Universite Paris Cite). V primeru, ko ima dana nilpotentna matrika dve Jordanovi kletki iste velikosti, smo problem dokončno rešili. Rešitev je predstavljena v preprintu [1], prav tako je bila predstavljena na konferenci [6].
b) Raznoterosti modulov
Na področju Quot shem (kar so raznoterosti modulov nad kolobarji polinomov v več spremenljivkah) smo sodelovali z Joachimom Jelisiejewom (Univerza v Varšavi). Nerazcepne komponente Quot shem smo karakterizirali za vse primere, ko je dimenzija modulov (kot vektorskih prostorov nad danim poljem) največ 8, in sicer za polinomske kolobarje v poljubnem številu spremenljivk. Dokazali smo tudi, da je Quot shema modulov dimenzije 8 in ranga 4 nereducirana že za polinomske kolobarje v 4 spremenljivkah. Nekateri izmed teh rezultatov so objavljeni v članku [3], drugi so v pripravi. Rezultati so bili predstavljeni tudi na konferencah [4] in [5].
Ukvarjali smo se tudi z raznoterostmi modulov nad algebro k[X,Y]/(X,Y)^3. Znamo izračunati dimenzije teh raznoterosti, ni pa še jasno, ali so množice, ki se pojavijo pri računanju dimenzije, komponente raznoterosti modulov ali je katera od njih vsebovana v zaprtju druge. Z delom na tem področju nadaljujemo.
Reference
[1] D. Bogdanić, A. Đurić, S. Koljančić, P. Oblak, K. Šivic: Jordan structures of nilpotent matrices in the centralizer of a nilpotent matrix with two Jordan blocks of the same size, preprint, https://arxiv.org/abs/2212.08425
[2] H. Derksen, I. Klep, V. Makam, J. Volčič: Ranks of linear matrix pencils separate simultaneous similarity orbits, preprint, https://arxiv.org/abs/2109.09418
[3] J. Jelisiejew, K. Šivic: Components and singularities of Quot schemes and varieties of commuting matrices, Journal für die reine und angewandte Mathematik, 788 (2022), strani 129-187
[4] K. Šivic: Irreducible components of Quot schemes and varieties of commuting matrices, AMS-EMS-SMF meeting 2022, Grenoble, 18.-22. julij 2022, vabljeno sekcijsko predavanje
[5] K. Šivic: Quot schemes and varieties of commuting matrices, AGATES workshop Deformation theory, Varšava, 5.-9. december 2022, vabljeno predavanje
[6] K. Šivic: Nilpotent orbits intersecting the centralizer of a nilpotent matrix, Joint Mathematics Meetings 2023, Boston, 4.-7. januar 2023, vabljeno sekcijsko predavanje
