Raziskovalni projekt (so)financira Javna agencija za raziskovalno dejavnost RS.
Članica UL: Fakulteta za matematiko in fiziko
Šifra projekta: N1-0061
Naziv projekta: Preslikave na matrikah, kvantnih strukturah in na prostoru Minkowskega
Obdobje: 1.6.2017 - 31.5.2020
Letni obseg: 1,82FTE, cenovna kategorija: B
Vodja: Peter Šemrl
Veda: Naravoslovje
Sodelujoče RO: sodelujoče RO
Sestava projektne skupine: link na SICRIS
Bibliografske reference: link na SICRIS
Vsebinski opis projekta :
Študirali bomo dva klasična že več desetletij odprta problema o ohranjevalcih. Čeprav je oba mogoče formulirati na elementarnem nivoju, pa so bile do sedaj za delne rešitve teh problemov uporabljene netrivialne metode iz različnih področij matematike: linearne algebre, funkcionalne analize, geometrije, kompleksne analize in algebraične topologije.
Prvi problem je poiskati optimalne verzije vseh štirih Huajevih fundamentalnih izrekov geometrije matrik. Naše prepričanje, da je to dosegljiv cilj, temelji na nedavnem dosežku vodje raziskovalne skupine, to je 74 strani dolgemu članku v prestižni reviji Memoirs of the American Mathematical Society, ki sta mu sledila še dva članka s po enim sodelavcem. V teh treh člankih v skupni dolžini približno 140 strani je bila dokazana optimalna verzija fundamentalnega izreka geometrije pravokotnih matrik skupaj z modificirano verzijo za matrike nad posebnim razredom nekomutativnih obsegov. Optimalnost izreka je bila pokazana s kontraprimeri.
Na osnovi dosedanjih izkušenj predvidevamo širok spekter aplikacij. V okviru tega projekta se bomo osredotočili na uporabe v teoriji splošnih ohranjevalcev na različnih prostorih operatorjev. Še posebej nas bodo zanimale simetrije struktur v matematičnih osnovah kvantne fizike.
Obstaja presenetljiva zveza med Huajevimi izreki in Alexandrovim fundamentalnim izrekom kronogeometrije, ki karakterizira Poincarejeve podobnosti prostora Minkowskega kot bijektivne preslikave, ki ohranjajo svetlobne stožce v obe smeri. Pričakujemo, da bomo s pomočjo tehnik, ki jih bomo razvili pri študiju Huajevih izrekov, izboljšali ali celo dobili optimalno verzijo izreka Alexandrova.
Drugi problem, s katerim se bomo ukvarjali, pa je znamenito Kaplanskyjevo vprašanje o bijektivnih linearnih ohranjevalcih obrnljivosti na polenostavnih Banachovih algebrah.
Faze projekta in njihova realizacija:
V originalnem projektu nismo podali nobene natančne časovnice, ki bi opredeljevala kdaj naj bi bili doseženi posamezni cilji. To je tudi težko, saj gre za precej kompleksne probleme (npr. problem optimalnosti enega samega Huajevega izreka je bil rešen v treh člankih s skupno dolžino okoli 140 strani - tako dolgi dokazi pa zahtevajo izjemno veliko časa).
Seveda bomo morali ves čas delati vzporedno na vseh opisanih problemih. Pravzaprav na vseh teh problemih delamo zelo intenzivno že vse od trenutka, ko smo začeli pripravljati prijavo za ERC projekt. Predstavitev prilagojenega projekta v prejšnji točki (izbira problemov, ki se jim bomo posvetili) je tako seveda posledica naših preliminarnih rezultatov, ki smo jih že dobili in ki nakazujejo v katerih smereh bi bilo lahko najuspešnejši v tem krajšem časovnem roku in z bistveno manjšo raziskovalno skupino. V točki 11 smo tako že dovolj podrobno opisali planirane rezultate, v naslednji točki pa bomo podali še predvideno časovnico.
