Raziskovalni projekt (so)financira Javna agencija za raziskovalno dejavnost RS.
Članica UL: Fakulteta za matematiko in fiziko
Šifra projekta: N1-0103
Naziv projekta: Komutirajoče matrike in Hilbertove sheme
Obdobje: 1.10.2019 - 30.9.2021
Letni obseg: 1,47 FTE, cenovna kategorija: A
Vodja: Klemen Šivic
Veda: Naravoslovje
Sodelujoče RO:
Sestava projektne skupine
Bibliografske reference
Vsebinski opis projekta:
Namen klasične algebraične geometrije je študij raznoterosti. Le-te definiramo kot množice rešitev sistemov polinomskih enačb. V sredini prejšnjega stoletja pa se je izkazalo, da s pomočjo raznoterosti ni mogoče opisati vse geometrije, zato je treba pojem raznoterosti posplošiti. Posplošitev raznoterosti, s katero je mogoče opisati precej več geometrijskih objektov, je shema. Na primer, shema upošteva tudi večkratne rešitve enačb, omogoča pa tudi obravnavanje enačb nad drugimi kolobarji, ne le nad polinomi.
Hilbertove sheme so temeljni geometrijski objekti, ki parametrizirajo določene podsheme dane sheme. Vpeljal jih je Grothendieck pred več kot 50 leti v sklopu svojega razvoja moderne algebraične geometrije. Mnogi matematiki so jih raziskovali vse odtlej, vendar je zaradi njihive zapletene strukture o njih še vedno malo znanega, celo v primeru najbolj enostavnih primerov, t.j. Hilbertovih shem točk v afinih prostorih. Niti na najosnovnejše vprašanje, kdaj so te sheme razcepne (t.j. kdaj jih je mogoče zapisati kot unijo manjših shem), odgovor ni popolnoma znan. V primerih, ko je shema razcepna, pa je zelo malo znanega o njenih nerazcepnih komponentah. Naš glavni cilj bo raziskovanje Hilbertovih shem točk v afinih prostorih preko povezave z raznoterostmi komutirajočih matrik. Tudi za te raznoterosti so ista vprašanja o razcepnosti in karakterizaciji nerazcepnih komponent še odprta. V projektu nameravamo odgovoriti na vprašanje razcepnosti komutirajočih raznoterosti in Hilbertovih shem v nekaterih primerih, ko je to vprašanje še odprto. Poleg tega nameravamo poiskati nove nerazcepne komponente v razcepnih primerih. V posebnem primeru želimo karakterizirati nerazcepne komponente v primerih, ko so matrike majhnih velikosti oziroma ko Hilbertova shema parametrizira majhno število točk. Pričakujem, da bodo naši rezultati podlaga za kasnejšo popolno karakterizacijo nerazcepnih komponent raznoterosti komutirajočih matrik in Hilbertovih shem točk v afinih prostorih.
Čeprav kaže, da je bila povezava med komutirajočimi matrikami in Hilbertovimi shemami točk v afinih prostorih nekaterim raziskovalcem znana že prej, je bila v primeru več kot dvorazsežnega afinega prostora ta povezava objavljena šele v letošnjem članku. Prav tako ta povezava še ni bila uporabljena, razen v omenjenem članku, kjer so avtorji uporabili rezultate vodje projekta o komutirajočih matrikah, da so dokazali nerazcepnost nekaterih Hilbertovih shem. V projektu bomo prvič uporabili vso moč te povezave ter komutirajoče raznoterosti in Hilbertove sheme raziskovali sočasno. Pri tem bomo uporabljali metode iz linearne, komutativne in Liejeve algebre ter algebraične geometrije.
Naši rezultati bodo neposredno vplivali na področja linearne, komutativne in Liejeve algebre, pa tudi na sorodna področja. Na primer, komutirajoče raznoterosti so močno povezane z modularno teorijo upodobitev algebraičnih grup. Tako komutirajoče matrike kot Hilbertove sheme so v zadnjem času eno glavnih orodij za študij vprašanj s področja rangov tenzorjev, področja, ki je pomembno zaradi uporabe v tehniki in statistiki.
