Raziskovalni projekt (so)financira Javna agencija za raziskovalno dejavnost RS.
Članica UL: Fakulteta za matematiko in fiziko
Šifra projekta: N1-0137
Naziv projekta: Nelinearni Valovi in Spektralna Teorija
Obdobje: 1. 6. 2020 - 31. 5. 2024
Letni obseg: 1,09 FTE, cenovna kategorija: C
Vodja: Aleksey Kostenko
Veda: Naravoslovje
Sodelujoče RO, sestava projektne skupine in bibliografske reference
Vsebinski opis projekta:
Spektralna teorija linearnih operaterjev najde številne aplikacije pri preučevanju nelinearnih valovnih enačb. Na primer, leta 1967 je bila uvedena obratna razpršilna transformacija za rešitev slavne KdV enačbe in njeno odkritje velja za enega največjih dosežkov 20. stoletja, ki povezuje različne veje čiste matematike in teoretične fizike. Pristop IST ima številne prednosti (npr. Izgradnja eksplicitnih rešitev in orodij za analizo vedenja rešitev v velikih časih), vendar je uporaben za zelo omejen razred nelinearnih enačb. Drug primer je podan s preučevanjem stabilnosti raztopin tipa solitona, kar običajno vodi v temeljito preiskavo spektralnih lastnosti povezanih linearnih enačb.
Naš projekt ima več glavnih ciljev. Prvi cilj je razviti IST pristop k enačbam Camassa-Holm in Degasperis-Processi. To zahteva pomemben napredek pri razumevanju inverzne spektralne/razpršilne teorije ustreznih enodimenzionalnih izospektralnih problemov (posplošeni nedoločni nizi in kubični nizi), ki še zdaleč ni izpopolnjena. Drugi glavni cilj je razvoj spektralne teorije linearnih operaterjev v nedoločenih notranjih produktnih prostorih (Kreinovi prostori) in njene uporabe za preučevanje stabilnosti rešitev solitonskega tipa za nelinearne valovne enačbe. Vsi ti problemi imajo tudi številne aplikacije na drugih področjih matematike in fizike. V okviru projekta načrtujemo obogatitev obstoječih povezav in rešitev več dolgotrajnih problemov.
Rezultati in dosežki projekta:
1&2: (I.2) - Inverzna spektralna teorija za posplošene nedoločene nize s koeficienti, ki spominjajo na fazni prostor za Camassa-Holmovo enačbo.
Glavni poudarek je bil na študiji Cauchyjevega problema za Camassa-Holmovo enačbo z začetnimi podatki, ki so asimptotično konstantni v neskončnosti. Natančneje nas zanima primer, ko imajo začetni podatki obliko 1+f, kjer f pripada Sobolevovemu prostoru H^1(R). Skupaj z Jonathanom Eckhardtom (U. Loughborough) nam je pred kratkim uspelo rešiti inverzni spektralni problem za ustrezen Laxov operator na polpremici s koeficienti, ki spominjajo na ta razred začetnih podatkov. Po eni strani strategija dokazovanja temelji na pionirskem delu Killipa in Simona (Ann. of Math. 2003&2009). Po drugi strani pa ta pristop zahteva zelo temeljit razvoj neposredne spektralne teorije za posplošene nedoločene nize, predmet, ki je bil predstavljen v A.Kostenko in J.Eckhardt//Invent. math. 204(3), 939-977 (2016). Slednji program nam je vzel skoraj 10 let, preostali ključni del pa je bil opravljen šele pred kratkim [1]. Poleg tega smo med dokazom morali ugotoviti nove rezultate o faktorizacijah tipa Nevanlinna za določene razrede meromorfnih funkcij v zgornji polravnini. Prispevek je trenutno v pripravi [2].
1&2: (II.2) -Razviti pristop IST za obravnavo konzervativne Camassa–Holmove enačbe.
Presenetljivo je, da ima naše delo [1] o spektralni teoriji za posplošene nedoločene strune nepričakovane aplikacije za konzervativni Camassa-Holmov tok. Te rezultate smo namreč lahko uporabili za konstruiranje novega razreda konzervativnih šibkih rešitev s stopničastimi začetnimi podatki z uporabo pristopa inverzne spektralne transformacije [3]. Poleg tega nam je pristop omogočil najti nove asimptotične ohranitvene zakone za to enačbo. Kar se nam zdi spektakularno v tem kontekstu, je dejstvo, da ta novi razred rešitev ni poznan v kontekstu drugih popolnoma integrabilnih sistemov 1+1 in da se v našem primeru te rešitve pojavljajo precej naravno. Poleg tega ne poznamo nobenih rezultatov obstoja za ta razred začetnih podatkov. Omenimo še, da karakterizacije, pridobljene v [2], tudi v tem kontekstu ustvarjajo nove zanimive razrede rešitev.
3: Kubične strune in Degasperis-Procesijeva enačba.
Ta del projekta se močno opira na mednarodno sodelovanje, a pandemija covida je imela in ima še naprej strašno negativen vpliv na raziskovalno sodelovanje. Na primer, skupaj z J.Eckhardtom, X.Changom (Peking) in J.Szmigielsky (U.Saskatchewan) smo morali najprej za 1 leto preložiti raziskovalni projekt v timih.
6: Spektralna teorija operatorjev v Krejinovih prostorih ter spektralna in orbitalna stabilnost solitonov.
V [4] smo naredili prvi resen korak k razumevanju domneve o stabilnosti, ki sta jo postavila Krueger in Soffer leta 2015. Razvili smo namreč teorijo motenj za Laguerrov operator. Naš pristop temelji na študiji toplotnega jedra prostega operaterja. Odkrili smo, da si ustrezni diskretni operator deli veliko lastnosti z Besselovim operatorjem, razredom 1d Schrödingerjevih operatorjev, ki izhajajo iz radialne dekompozicije večdimenzionalnega enotelesnega Schrödingerjevega operatorja. Verjamemo, da bo ustrezen rezultat našel uporabo na številnih nepovezanih področjih, saj obstaja le nekaj modelov, za katere je mogoče eksplicitno izračunati toplotna jedra, v [4] pa smo našli zaprt izraz s pomočjo Jacobijevih polinomov.
[1] J. Eckhardt and A. Kostenko, Generalized indefinite strings with purely discrete spectrum, in: "From Complex Analysis to Operator Theory: A Panorama In Memory of Sergey Naboko", M. Brown (ed.) et al., Oper. Theory Adv. Appl., to appear (2023).
[2] J. Eckhardt and A. Kostenko, The conservative Camassa--Holm flow with step-like irregular initial data, in preparation.
[3] J. Eckhardt and A. Kostenko, On the inverse spectral theory of generalized indefinite strings and its applications to the conservative Camassa—Holm flow, in preparation.
[4] A. Kostenko, Heat kernels of the discrete Laguerre operators, Lett. Math. Phys. 111, 2:32 (2021).
