Raziskovalni projekt (so)financira Javna agencija za raziskovalno dejavnost RS.
Članica UL: Fakulteta za matematiko in fiziko
Šifra projekta: N1-0217
Naziv projekta: Nekomutativna realna algebraična geometrija s sledjo
Obdobje: 1. 10. 2021 - 30. 9. 2024
Letni obseg: 0,7 FTE cenovna kategorija: C
Vodja: Igor Klep
Veda: Naravoslovje
Sodelujoče RO, sestava projektne skupine in bibliografske reference
Vsebinski opis projekta:
Optimizacijski problemi, ki vključujejo polinomske podatke, se pojavljajo v mnogih vedah, npr. v teoriji kontrolnih sistemov, operacijskih raziskavah, statistiki in verjetnosti, kombinatoriki in teoriji grafov, računalništvu in drugje. Vendar jih je težko rešiti. Že zelo preprosti primeri polinomskih optimizacijskih problemov (POP) so NP težki. A zaradi njihove pomembnosti so bili razviti različni algoritmi za približno reševanje POP. Novejše tehnike temeljijo na vsotah kvadratov in konceptih iz realne algebraične geometrije, ter so navdihnjeni s problemom momentov iz funkcionalne analize.
V tem projektu se osredotočamo na POP, kjer so neznanke matrike, tj. nekomutativni POP ali NCPOP. Številni klasični problemi, na primer tisti v učbenikih v teoriji kontrolnih sistemov, imajo matrike kot spremenljivke, formule pa vsebujejo polinome v teh matrikah. Ti polinomi so odvisni samo od postavitve sistema in se ne spreminjajo z velikostjo matrik; takšni problemi so ≫brezdimenzijski≪. Njihova analiza spada v področje proste nekomutativne analize in proste realne algebraične geometrije (prosta RAG). Ti cvetoči območji zagotavljata okvir za obravnavanje pojmov z najvišjo stopnjo nekomutativnosti, kot so velike (naključne) matrike.
V nadaljevanju bomo podrobneje predstavili prosto realno algebraično geometrijo, elegantno temo, ki se zelo hitro odvija. Začenši s Hilbertovim 17. problemom klasično področje RAG daje sistematično teorijo klasičnih (komutativnih) polinomskih neenakosti. Na primer, izjava ≫p je pozitiven, kadar je q pozitiven≪ je tesno povezana z obstojem algebraičnega certifikata, ki poveže p do q, imenovanim Positivstellensatz. Napredujemo pri prostih nekomutativnih analogih, saj so ti primeri pogosto lepši.
Prosta RAG preučuje pozitivnost polinomov v matričnih spremenljivkah in je v zadnjih dveh desetletjih našla številne uporabe v večih znanostih. Na primer, Pironio, Navascues, Acin (2008, 2010, …) podajo uporabo v kvantni teoriji in kvantni informatiki; Helton idr. (2008) predstavijo aplikacije in povezave s teorijo kontrolnih sistemov; Cimprič (2010, 2019) je z NCPOP raziskal PDE in lastne vrednosti polinomskih parcialnih diferencialnih operaterjev; Recht in Re (2012), navdihnjena z randomiziranimi algoritmi v strojnem učenju, s pomočjo NCPOP raziskujeta aritmetično-geometrijsko neenakost za matrike, itd.
Ta projekt se bo osredotočil na nekomutativne neenakosti, ki vključujejo sled. Pred nami sta dva temeljna izziva. Projekt jih namerava premagati z uporabo novih analitičnih, algebrskih in geometrijskih orodij. Problem 1 je ustrezna različica Hilbertovega 17. problema za NCPOP, ki vključuje sled v brezdimenzijskem okolju. Pred kratkim je ta problem razrešil PI s Pascoejem in Volčičem v univariatnem primeru, kar nam daje primerno izhodišče za raziskovanje splošnega primera. Problem 2 je reševanje primera n> 3 domneve Procesi-Schacher (Annals of Math, 1976), ki je analog Hilbertovega 17. problema za NCPOP s sledmi v matrikah fiksne velikosti n. Primer n = 3 je PI s Špenko in Volčičem razrešil leta 2018, podobno strategijo pa bi lahko uporabili za n = 4,5. Za splošni primer pa bodo potrebne nove ideje iz teorije upodobitev, ortogonalnih grup in centralno enostavnih algeber.
Tako je projekt zasnovan modularno, sestavljen iz dveh sklopov, pri čemer se eden osredotoča na brezdimenzijsko okolje, drugi pa na matrike fiksne velikosti. Intenzivno se bomo ukvarjali tudi z aplikacijami na tesno povezanih področjih, kot sta teorija operatorjev in kvantna informatika. Ključni tukaj bo napredek algoritmov in njihove implementacije, ki jih nameravamo na spletu ponuditi v uporabo širši znanstveni skupnosti.
Rezultati in dosežki projekta:
Projekt je bil doslej zelo uspešen na področju proste brezdimenzijske RAG (in njene uporabe na področju kvantne fizike (91, 86)). Osredotočimo se v tem zapisu na članek (93), sprejet v objavo v prestižni Mathematische Annalen. (93) je bistvena nadgradnja starejšega dela (84). V (84) smo prvič s stališča RAG obravnavali polinome s sledjo. Univariaten polinom s sledjo je polinom v spremenljivki x in formalnih simbolih sledi Tr(x^j). Takšen izraz lahko naravno ovrednotimo na matrikah, kjer so simboli sledi ovrednoteni kot normalizirane sledi. V (84) smo podali analog Artinove rešitve Hilbertovega 17. problema: pozitivno semidefiniten univariaten polinom s sledmi je kvocient vsot produktov kvadratov in sledi kvadratov polinomov s sledmi.
Pogumnega koraka naprej smo se lotili v (93). Tukaj smo želeli obravnavati (multivariatne) nekomutativne (nc) polinome (tokrat brez formalnih sledi) in njihovo pozitivnost na sled. Takšni polinomi se pojavijo kot neenačbe s sledmi v matričnih ali operatorskih spremenljivkah in so zelo razširjeni v matematiki in fiziki. V članku dokažemo prvi Positivstellensatz za globalno pozitivnost sledi nc polinomov. Analogno Hilbertovemu 17. problemu v klasični RAG je pokazano, da so takšni polinomi šibke vsote hermitskih kvadratov in komutatorjev regularnih nc racionalnih funkcij. V dveh spremenljivkah je ta rezultat še dodatno okrepljen z uporabo novega certifikata o vsotah kvadratov s konkretnimi univariatnimi imenovalci za nenegativne bivariatne komutativne polinome.
Certifikate o pozitivnosti sledi v tem članku dobimo s konveksno dualnostjo z reševanjem tako imenovanega problema neomejenih momentov s sledmi, ki izhaja iz nekomutativne teorije integracije in proste verjetnosti. Ob danem linearnem funkcionalu na nc polinomih se ta problem momentov sprašuje, ali gre za skupno porazdelitev integralskih operatorjev, povezanih s von Neumannovo algebro. Dokazan je ekvivalent Havilandovega izreka o rešljivosti tega problema. Poleg tega je prikazana različica Carlemanovega pogoja, ki zagotavlja obstoj rešitve problema momentov. Skupaj s semidefinitno optimizacijo je to nato uporabljeno za dokaz t.i. Störungspositivstellensatza: vsak pozitivni nc polinom dopušča eksplicitno aproksimacijo v 1-normi na svojih koeficientih z vsotami hermitskih kvadratov in komutatorjev nc polinomov.
Tudi članki (86,89,91,93,94) se ukvarjajo s pozitivnimi nekomutativnimi funkcijami (tipično polinomi). (86), (94) in (91) (slednji je objavljen v prestižni reviji CMP) se ukvarjajo z aplikacijami naše teorije v matematični in kvantni fiziki.
Glavni rezultat na drugi veji projekta, tj., področju matrik fiksne velikosti, je članek (92), objavljen v prestižni Advances in Mathematics. Prispevek se ukvarja s t.i. brezupnim problemom simultane podobnosti teric matrik. Članek reši dvostransko različico in predstavi protiprimer splošne različice domneve Hadwina in Larsona iz leta 2003 (ki je že sama adaptacija domneve Curto-Herrero iz 1985).
Reference
PI I. Klep; številčenje je privzeto po PI spletni strani https://users.fmf.uni-lj.si/klep/papers.html
V tisku
(95) Globally trace-positive noncommutative polynomials and the unbounded tracial moment problem, Mathematische Annalen (with Claus Scheiderer and Jurij Volčič)
(94) Noncommutative Nullstellensätze and Perfect Games, Annales Henri Poincaré (with Adam Bene Watts, J. William Helton)
(93) Noncommutative Polynomial Optimization, Encyclopedia of Optimization 3rd edition, Springer (with Victor Magron and Abhishek Bhardwaj)
Objavljeno že v okviru projekta
(92) Ranks of linear matrix pencils separate simultaneous similarity orbits, Adv. Math. 415 (2023) 108888, 20pp (with Harm Derksen, Visu Makam and Jurij Volčič)
(91) Dimension-free entanglement detection in multipartite Werner states, Comm. Math. Phys. 396 (2022) 1051--1070 (with Felix Huber, Victor Magron and Jurij Volčič)
(89) Sparse Noncommutative Polynomial Optimization, Math. Program. 193 (2022) 789--829 (with Victor Magron and Janez Povh)
(86) Optimization over trace polynomials, Ann. Henri Poincaré 23 (2022) 67--100 (with Victor Magron and Jurij Volčič)
