Raziskovalni projekt (so)financira Javna agencija za raziskovalno dejavnost RS.
Članica UL: Fakulteta za matematiko in fiziko
Šifra projekta: N1-0237
Naziv projekta: Holomorfne parcialne diferencialne relacije
Obdobje: 1. 4. 2022 - 31. 3. 2025
Letni obseg: 4,4 FTE, cenovna kategorija: A
Vodja: Franc Forstnerič
Veda: Naravoslovje
Sodelujoče RO, sestava projektne skupine in bibliografske reference
Vsebinski opis projekta:
Cilj projekta je razvoj področja kompleksne analize in geometrije, katerega skupno jedro so holomorfne parcialne diferencialne relacije (HPDR). Taka relacija reda r≥0 je podmnožica mnogoterosti r-brstičev holomorfnih preslikav med kompleksnimi mnogoterostmi. Glavno vprašanje je, kdaj formalna rešitev vodi do prave analitične rešitve ter klasifikacija rešitev do izotopij. Ta kompleksno analitičen analog h-principa M. Gromova je pomemben v vrsti potencialnih aplikacij, a je področje slabo razvito z le sporadičnimi rezultati. Raziskave v projektu bodo osredotočene na naslednje sklope medsebojno povezanih problemov.
A. Teorija Oka se ukvarja z obstojem holomorfnih preslikav (HPDR reda 0) iz Steinovih mnogoterosti (zaprte kompleksne podmmnogoterosti kompleksnih evklidskih prostorov) v kompleksne mnogoterosti s fleksibilno kompleksno strukturo. Najpomembnejši objekti so Oka mnogoterosti, ki jih je PI uvedel v literaturo l. 2009 in so postali centralni fokus teorije (F. Forstnerič, Stein Manifolds and Holomorphic Mappings, Springer, 2011 & 2017.) Leta 2020 je bilo uvedeno novo področje 32Q56 Oka principle and Oka manifolds v matematični klasifikaciji MSC2020. Nedavno razvite tehnike in novi rezultati bodo pomembna osnova za nadaljnje raziskave področja v projektu, ki so podrobneje opisane v originalni prijavi ERC projekta.
B. Holomorfni usmerjeni sistemi so HPDR prvega reda, ki so podani z analitičnimi podmnožicami v mnogoterosti vseh 1-brstičev. Med najpomembnejše primere sodijo holomorfni kontaktni sistemi. Tak sistem na kompleksni mnogoterosti X lihe dimenzije je podan s popolnoma neintegrabilnim holomorfnim podsvežnjem kompleksnih hiperravnin v tangentnem svežnju mnogoterosti. V sklopu projekta bomo razvili nove tehnike za konstrukcije holomorfnih integralnih (Legendrovih) krivulj v takih sistemih s poudarkom na problemih aproksimacije, lepljenja, in Riemann-Hilbertove modifikacije Legendrovih krivulj. Odvisno od razpoložljivega časa in sredstev (obsega projekta) se bomo lotili tudi zahtevnejšega problema poiskati nove analitične ali geometrijske invariante, ki bi se dale uporabiti za razločevanje in klasifikacijo holomorfnih kontaktnih struktur na modelnih mnogoterostih, kot so kompleksni evklidski prostori.
C. Minimalne ploskve. Ploskev v prostoru je minimalna, če ima najmanjšo ploščino med bližnjimi ploskvami z istim robom. Minimalne ploskve so naravni in pomembni objekti v matematiki, fiziki in drugih področjih. Vsaka minimalna ploskev je slika konformne harmonične preslikave z Riemannove ploskve in taka preslikava minimizira energijo. Minimalne ploskve v realnem n-razsežnem evklidskem prostoru lahko obravnavamo kot HPDR, podano s kvadrično hiperploskvijo v kompleksnem n-razsežnem evklidskem prostoru. Punktirana kvadrika brez izhodišča je Oka mnogoterost in njena konveksna ogrinjača je ves prostor. Ti dve dejstvi omogočata uspešno obravnavo teorije z uporabo Oka-teoretičnih metod v kombinaciji s konveksno geometrijo. Za minimalne ploskve v splošnejših Riemannovih mnogoterostih obstaja pomembna zveza s holomorfnimi Legendrovimi krivuljami v kompleksnih kontaktnih mnogoterostih preko Penrosejevih tvistorskih prostorov in Bryantove korespondence. Ta zveza je še posebej pomembna na Einstein 4-mnogoterostih, ki so osnovni objekti splošne teorije relativnosti. Z uporabo te povezave smo konstruirali omejene kompletne minimalne ploskve v sebi-dualnih Einsteinovih 4-mnogoterostih, kar predstavlja rešitev problema Calabi-Yau na tem razredu mnogoterosti. V fizikalnem smislu so take ploskve 2-razsežne črne luknje, ki zavzemajo le malo prostora, a imajo poljubno visoko energijo. Verjamemo, da Bryantova korespondenca omogoča vrsto nadaljnjih aplikacij in konstrukcij minimalnih ploskev v širšem razredu Riemannovih mnogoterosti, kar bomo raziskovali v sklopu projekta. Razvijali bomo tudi novo teorijo hiperboličnosti za minimalne ploskve, ki smo jo letos (2021) uvedli v literaturo in dokazali Schwarz-Pickovo lemo za minimalne ploskve v krogli.
