Jože Malešič: Dva geometrijska paradoksa v teoriji množic

Povzetek. Paradoks o treh skladnih množicah na sferi (F. Hausdorff 1914)

Na sferi S² obstajajo štiri take paroma disjunktne množice točk T, A, B in C, katerih unija je vsa sfera,

• da je T števno neskončna,
• da je množica C skladna z množicama A in B in
• da je množica C skladna tudi z unijo množic A in B.

Torej bi bila mera (površina) množice C enaka dvakratnici same sebe. V resnici množica C sploh ni merljiva in ne gre za protislovje.

Paradoks o enako sestavljenih kroglah (S. Banach in A. Tarski 1924)

Krogla B³ je enako sestavljena kot unija dveh njenih disjunktnih kopij.

Oba paradoksa se dokažeta na podoben način: paradoksalne množice se konstruirajo s pomočjo primerne podgrupe v grupi SO(3) rotacij prostora R³. Najprej se na nivoju grup konstruira razcep na podmnožice, ki je analogen zaželenemu razcepu sfere ali krogle.

Pri dokazu je potreben aksiom o izboru.