Raziskovalni projekt (so)financira Javna agencija za raziskovalno dejavnost RS.
Članica UL: Fakulteta za matematiko in fiziko
Šifra projekta: J1-3005
Naziv projekta: Kompleksna in geometrijska analiza
Obdobje: 1. 10. 2021 - 30. 9. 2024
Letni obseg: 0,8 FTE, cenovna kategorija: B
Vodja: Franc Forstnerič
Veda: Naravoslovje
Sodelujoče RO, sestava projektne skupine in bibliografske reference
Vsebinski opis projekta :
Predlagani problemi sodijo na področje geometrijske kompleksne analize, kompleksne dinamike in aproksimacijske teorije in jih predstavimo v naslednjih sklopih:
(A) Oka mnogoterosti
(B) CR singularnosti realnih mnogoterosti v kompleksnih mnogoterostih
(C) Riemann‑Hilbertov robni problem
(D) Tehnike lepljenja na skoraj kompleksnih mnogoterostih
(E) Problemi v kompleksni dinamiki
(F) Aproksimacija krivulj in ploskev s polinomskimi objekti
(A) Oka mnogoterosti je vpeljal v literaturo vodja projekta leta 2009. Ta razred kompleksnih mnogoterosti je postal glavni fokus holomorfne teorije fleksibilnosti in dodeljeno mu je bilo novo področje 32Q56 Oka principle and Oka manifolds v MSC‑ 2020 klasifikaciji. Oka mnogoterost vsebuje obilico holomorfnih slik poljubne Steinove mnogoterosti in analitični problemi na njih imajo običajno le topološke obstrukcije. Zaradi tega so zelo zanimivi objekti. Simetrične kompleksne mnogoterosti so Oka in to vključuje mnoge modelne primere, pomembne v uporabi. Od 2018 je Y. Kusakabe razvil serijo novih dognanj in pokazal novo karakterizacijo tega razreda, ki pokaže, da je Oka mnogoterosti bistveno več kot se je domnevalo. V projektu bomo raziskali nove smeri, ki so se odprle s temi spoznanji in metodami, pri čemer bomo slednje kombinirali s prej znanimi, predstavljenimi v monografiji Stein Manifolds and Holomorphic Mappings F. Forstneriča. Raziskali bomo položaj Oka mnogoterosti med kompaktnimi projektivnimi mnogoterostmi in njihovo povezavo s specialnimi mnogoterostmi v smislu Campana ter z metrično pozitivnostnimi lastnostmi. Raziskali bomo obstoj velikih evklidskih domen v Steinovih mnogoterostih in degeneracije evklidskih vlaken v Steinovih fibracijah.
(B) Pomemben aspekt Cauchy–Riemannove (CR) geometrije je razumevanje strukture CR singularni točk gladkih n‑mnogoterosti v kompleksnih n‑ mnogoterostih. To je dobro razumljeno za realne ploskve v kompleksnih ploskvah (n=2) in do neke mere za n=3, ni pa velikko znanega za n>3. Raziskali bomo vprašanje, katere 2‑ploskve in njihovi spleti se pojavijo kot množice CR singularnosti imerzij ali vložitev 4‑sfer v C4. Analizirali bomo strukturo in problem klasifikacije kompleksnih točk v gladkih 2‑kodimenzionalnih podmnogoterostih kompleksnih mnogoterosti s poudarkom na stabilnosti in klasifikaciji kvadratičnega dela v takih točkah. Pojem CR neminimalnih in CR nedegeneranih točk ima pomembno vlogo v tej analizi.
(C+D) Rešitve Riemann‑Hilbertovega robnega problema ponujajo učinkovito metodo pri reševanju geometrijskih problemov kompleksne analize in sorodnih področij. To tehniko bomo razvili za uporabo v kompleksni kontaktni geometriji in, preko Penroseove teorije tvistorskih prostorov, za superminimalne ploskve v sebi‑ dualnih Einsteinovih 4‑mnogoterostih. Razviti nameravamo metodo lepljenja holomorfnih krivulj v skoraj kompleksnih mnogoterostih dimenzije >2, kar bo dalo zelo uporabno orodje za konstrukcijo pravih holomorfnih krivulj in za rešitev problema Calabi‑Yau na takih mnogoterostih.
(E) Študirali bomo dinamiko holomorfnih preslikav več spremenljivk in skušali rešiti naslednje probleme: (1) poiskati klasifikacijo invariantnih Fatoujevih komponent za holomorfne avtomorfizme C2 in nekatere podrazrede, kot npr. Hénonove preslikave; (2) klasificirati dinamična obnašanja znotraj blodečih domen holomorfnih avtomorphizmov of C2; (3) poiskati popoln opis lokalne dinamike poševnih produktov (z,w) → (p(z),q(z,w)) tangentnih na identiteto.
(F) Gladke krivulje in ploskve so pomembni matematični objekti z obsežno uporabo v inženirstvu. Uporabljajo se za opis mnogih struktur in so zelo pomembne v računalniško podprtem geometrijskem oblikovanju in proizvodnji. Krivulje in ploskve moramo pogosto predstaviti v polinomski obliki za efektivno vizualizacijo in izračunljivost. Ker so tudi mnogi najpreprostejši objekti kot so krožni loki in sfere ne‑polinomski, je problem aproksimacije s polinomskimi objekti neobhoden. V projektu bomo razvili efektivne nove metode za polinomsko aproksimacijo krivulj in ploskev.
Rezultati in dosežki projekta:
V članku Franc Forstnerič, Stein neighbourhoods of bordered complex curves attached to holomorphically convex sets (Arkiv Mat., 60(2):335-349, 2022) smo konstruirali odprte Steinove okolice kompaktnih množic v kompleksnem prostoru X, ki so unija kompaktne holomorfno konveksne množice K in kompaktne kompleksne krivulje A z robom bA razreda C2, ki lahko seka K, tako da je presek A in K holomorfno konveksen v A. Rezultat posploši vrsto prej znanih rezultatov v primeru, ko rob krivulje A ne seka K.
V članku Franc Forstnerič in Frank Kutzschebauch, The first thirty years of Andersén-Lempert theory (Anal. Math., 48(2):489-544, 2022) smo prikazali vpliv fundamentalnega odkritja Erika Andersena in Laszla Lemperta, da je grupa holomorfnih avtomorfizmov kompleksnega evklidskega prostora Cn za n>1, generirana s strigi, gosta v grupi vseh holomorfnih avtomorfizmov Cn. Prikazan je razvoj teorije Andersen-Lempert ter njena vloga v razvoju kompleksne analize v zadnjih treh desetletjih.
V članku Franc Forstnerič, Euclidean domains in complex manifolds (J. Math. Anal. Appl., 506(1), 2022, 125660) smo konstruirali evklidske domene v kompleksnih mnogoterostih, ki so okolice unije kompaktne množice z bazo Steinovih okolic ter Steinove podmnogoterosti. Med drugim smo dokazali posplošitev klasičnega rezultata Docquier-Grauert za biholomorfno ekvivalenco okolic parov takih množic.
V članku Franc Forstnerič, Every smoothly bounded p-convex domain in Rn admits a p-plurisubharmonic defining function. (Bull. Sci. Math., 175:103100, 2022) smo pokazali, da ima vsaka omejena p-konveksna domena v evklidskem prostoru p-plurisubharmonično definicijsko funkcijo. Prikazali smo pomen tega rezultata na analizo p-razsežnih minimalnih podmnogoterosti v dani domeni z uporabo principa maksimuma.
V članku Barbara Drinovec Drnovšek in Franc Forstnerič, Flexible domains for minimal surfaces in Euclidean spaces (J. Math. Anal. Appl., 517(2):126653, 2023) smo uvedli in analizirali nov pojem fleksibilnosti za domene v evklidskih prostorih Rn glede na minimalne ploskve. Domena D se imenuje fleksibilna, če lahko vsako konformno imerzijo z dane Rungejeve domene U v Riemannovi ploskvi R v dano domeno D aproksimiramo in interpoliramo v končno točkah s konformnimi minimalnimi imerzijami celotne Riemannove ploskve R v domeno D. V članku prikažemo splošen zadostni pogoj za fleksibilnost. Skupaj z nedavno uvedenim pojmom rigidnosti (hiperboličnosti) domen glede na minimalne ploskve je s tem dihotomija med fleksibilnostjo in rigidnostjo razširjena iz kompleksne analize v teorijo minimalnih ploskev.
V članku Franc Forstnerič, The Calabi-Yau problem for minimal surfaces with Cantor ends (Revista Mat. Iberoam., v tisku) smo pokazali, da vsaka povezana kompaktna Riemannova ploskev (lahko z robom) vsebuje Cantorjevo množico, katere komplement dopušča kompletno omejeno konformno minimalno imerzijo v R3. Analogen rezultat je prikazan za holomorfne imerzije v poljubno kompleksno mnogoterost dimenzije vsaj 2, za holomorfne ničelne imerzije v Cn za n≥3, za holomorfne Legendrove imerzije v vsako kompleksno kontaktno mnogoterost inen za superminimal imerzije v poljubno sebi-dualno ali sebi anti-dualno Einsteinovo 4-mnogoterost.
V članku Jasne Prezelj s sodelavcema Graziano Gentili in Fabio Vlacci, Slice conformality and Riemann manifolds on quaternions and octonions (Math. Z., 2022, DOI 10.1007/s00209-022-03079-4) so avtorji razvili pojem Riemannove ploskve nad kvaternioni in oktonioni za t.i. slice-regular funkcije. Poleg tega so končali in poslali v objavo članek On a definition of logarithm of quaternionic functions, pripravljajo pa tudi članek o nadaljevanjih logaritma vzdolž krivulj in s tem povezanim pojmom ovojnega števila.
V članku Tadej Starčič, Isotropy groups of the action of orthogonal similarity on symmetric matrices, Linear and Multilinear Algebra https://doi.org/10.1080/03081087.2022.2044746 (v objavi) je avtor analiziral pred kratkim opaženi algoritem za izračun izotropnih grup delovanja kompleksne ortogonalne grupe na Hermitskih matrikah. Algoritem je uspel poenostaviti do te mere, da je omogočil nov, neodvisno zanimiv rezultat v matrični analizi, to je opis izotropnih grup delovanja ortogonalne grupe na kompleksnih simetričnih matrikah. Članek s tem rezultatom (Tadej Starčič: Isotropy groups of the action of orthogonal similarity on symmetric matrices) je bil januarja 2022 sprejet v revijo Linear and Multilinear Algebra.
V članku Aleš Vavpetič, Emil Žagar, Geometric approximation of the sphere by triangular polynomial spline patches (Comput. Aided Geom. Design, 92 (2022), Paper No. 102061, 12 pp.) sta avtorja konstruirala optimalne polinomske aproksimante enotske sfere. Dokazala sta obstoj in enoličnost polinomskih aproksimantov nizke stopnje nad triangulacijami, podanimi s platonskimi telesi, včrtanimi v enotsko sfero.
V članku Grega Cigler, Emil Žagar, Interpolation of planar G1 data by Pythagorean-hodograph cubic biarcs with prescribed arc lengths (Comput. Aided Geom. Design 96 (2022), Paper No. 102119, 14 pp.) sta avtorja dokazala obstoj vsaj treh rešitev problema interpolacije dveh točk in dveh smeri tangent s PH dvolokom predpisane ločne dolžine. Gre za interpolacijski problem, kjer kombiniramo interpolacijo lokalnih geometrijskih količin (točke in smeri tangente) z globalnimi (ločna dolžina).
V članku T. Rida Farouki, Marjeta Knez, Vito Vitrih, Emil Žagar, On the construction of polynomial minimal surfaces with Pythagorean normal (Appl. Math. Comput. 435 (2022), 127439, 12pp., https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/S0096300322005136) so avtorji študirali konstrukcijo minimalnih ploskev, ki imajo racionalno enotsko normalo (PN ploskve). Povezali so teorijo PN ploskev z minimalnimi ploskvami in rešili nekaj osnovnih interpolacijskih problemov.
Članek Marko Kuralt, Alja Cmok Kučič, Rok Gašperšič, Jan Grošelj, Marjetka Knez, Aleš Fidler, Gingival shape analysis using surface curvature estimation of the intraoral scans (BMC oral health, 2022, vol. 22, str. 1-11, https://bmcoralhealth.biomedcentral.com/articles/10.1186/s12903-022-02322-y) je interdisciplinaren in se ukvarja s problemom avtomatske analize oblik dlesni, ki so predstavljene v obliki prostorskih triangulacij dobljenih z optičnim skeniranjem. Predlagane metode temeljijo na analizi različnih mer ukrivljenosti ploskev, izračunanih numerično na podlagi aproksimacijskih algoritmov.
V članku Jan Grošelj, Marjetka Knez, Generalized C1 Clough-Tocher splines for CAGD and FEM (Computer methods in applied mechanics and engineering, 395 (2022), art. 114983 (22 str., https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0045782522002316) so avtorji posplošili klasični prostor C1 kubičnih Clough-Tocherjevih zlepkov nad triangulacijo na C1 prostor poljubne stopnje višje od tri. Pokazali so, da je obravnavane prostore moč opremiti z bazo, sestavljeno iz nenegativnih lokalno podprtih funkcij, ki sestavljajo razčlenitev enote, in demonstrirali uporabnost te baze v kontekstu metode končnih elementov.
V članku Marjeta Knez, Francesca Pelosi, Lucia Sampoli, Construction of G2 planar Hermite interpolants with prescribed arc lengths (Applied Mathematics and Computation, 426, 2022, art. 127092, https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S009630032200176X) avtorice obravnavajo ravninske krivulje s pitagorejskim hodografom stopnje 7, ki interpolirajo točke, smeri tangent ter ukrivljenosti in imajo predpisano ločno dolžino. Kljub nelinearnosti problema je predstavljena konstrukcija z uporabo dvolokov, ki zagotavlja obstoj interpolantov za poljubne vhodne podatke in ki zagotavlja visok red aproksimacije.
