Raziskovalni projekt (so)financira Javna agencija za raziskovalno dejavnost RS.
Članica UL: Fakulteta za matematiko in fiziko
Šifra projekta: J1-70033
Naziv projekta:Naključne matrike, grafi in grupe
Obdobje: 1. 3. 2026 - 28. 2. 2029
Letni obseg: 1,89 FTE, cenovna kategorija: B
Vodja: Roman Bessonov
Veda: Naravoslovje
Vsebinski opis projekta:
Teorija naključnih matrik se tradicionalno uporablja za opis kompleksnih sistemov z velikim številom parametrov, kadar želimo analizirati njihove statistične lastnosti. Cilji projekta se nahajajo na presečišču spektralne teorije, kvantne ergodičnosti in teorije grup. Ena ključnih značilnosti našega pristopa bo kvantitativna študija spektralnih lastnosti naključnih matrik, v katero spadajo lokalne ocene statističnih lastnosti lastnih vrednosti (problemi univerzalnosti) in spektralnih vrzeli za Schreierjeve grafe, ki jih generirajo naključne grupe (problemi močne konvergence). Kvantitativna študija vključuje nove natančne ocene različnih statistik "končnih velikosti", tj. kadar je velikost naključnih matrik n x n dovolj velika, vendar fiksna. Med glavnimi analitičnimi orodji za pridobivanje teh ocen bomo uporabili funkcijo entropije mere – novo zmogljivo orodje, ki sta ga leta 2017 uvedla vodja projekta in S. Denisov. Funkcija entropije je še posebej učinkovita pri preučevanju problemov spektralne teorije sebi-adjungiranih diferencialnih in končnih diferenčnih operatorjev, kot so Diracovi sistemi, Kreinove strune in Jacobijeve matrike. V projektu bomo raziskovali spektralne lastnosti laplaceovih operatorjev na nekaterih grafih s posebno strukturo – t.i. antidrevesih, katerih teorija je na nek način blizu teoriji ortogonalnih polinomov in Jacobijevih matrik (in vključuje slednje kot zelo poseben primer). Eden izmed naših glavnih ciljev tega projekta je dokaz domneve o šibki kvantni ergodičnosti za antidrevesa v duhu N. Anantharamana in E. Le Massona, ki sta to domnevo nedavno dokazala za regularne grafe.
