Matematika IV

Vpis v letnik

Opravljen izpit iz vaj je pogoj za pristop k izpitu iz teorije.

Med obveznostmi študenta so lahko tudi domače naloge.

Preprosti robni problemi za DE y''+ky=0. Parcialne diferencialne enačbe (PDE), Fourierova metoda (ločitev spremenljivk): enačba za prevajanje toplote, Laplaceova enačba, valovna enačba.
Fourierove transformacije, prostor L_1. Inverzna transformacija. Konvolucija. Primeri iz matematične fizike.
Holomorfne funkcije: Cauchy - Riemannov sistem, integrali po krivuljah, Cauchyjeva formula za krog,  razvoj v potenčno vrsto, analitične funkcije.  Logaritem, ovojno število, splošna Cauchyjeva formula.  Ničle analitične funkcije. Liouvillov izrek. Laurentova vrsta.  Izolirane singularne točke.   Izrek o residuih.
Linearna lomljena transformacija. Zveza s harmoničnimi funkcijami, Poissonova formula za krog. Funkcija gama.
Reševanje linearnih DE drugega reda s potenčno vrsto, Frobeniusova metoda.   Besselova DE in Besselove funkcije.
Klasifikacija linearnih PDE drugega reda. Nihanje neskončne strune - d'Alembertova rešitev.
Linearni diferencialni operatorji drugega reda: Sturm Liouvillov problem.   Besselov diferencialni operator. Legendrovi polinomi, prirejene Legendrove funkcije, sferne funkcije.
Druga in tretja Greenova formula.

E. Zakrajšek, Analiza III, Matematični rokopisi 21, DMFA-založništvo, Ljubljana 2002.
Suhadolc, Metrični prostor, Hilbertov prostor, Fourierova analiza, Laplaceova transformacija, Matematični rokopisi 23,  DMFA, Ljubljana, 1998.

Večina snovi je v (most of the course material is in):
W. Kaplan, Advanced Calculus, Addison-Wesley, Boston 2003.

Pri sestavljanju predavanj so bile uporabljene naslednje knjige (These books were used in compiling the course):

M. Braun, Differential Equations and Their Applications, 4th ed. Applied mathematical sciences 15, Springer-Verlag, New York 1993.
V. A. Zorich, Mathematical Analysis II, Universitext, Springer Verlag, Berlin Heidelberg 2004.
K. Jaenich, Analysis fuer Physiker und Ingenieure, Funktionentheorie, Differentialgleichungen, Spezielle funktionen, 3. Aufl., Springer Lehrbuch, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 1995.
S. Hassani, Mathematical Physics, A Modern Introduction to its Foundations, Springer-Verlag, New York 1999. (V poštev pride le majhen del te obsežne knjige – we need just a fraction of this book.)
Tai L. Chow: Mathematical Methods for Physicists: A Concise Introduction , Cambridge University Press, Cambridge 2000.
D. Bak, D. J. Newman, Complex analysis, Undergraduate texts in Mathematics, 3rd ed., Springer-Verlag, New York 2010.
Priročnik (Handbook):
E. Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics, 10th ed., Wiley, New York 2011.
Naloge (problems and solved problems):

B. Hvala, Zbirka izpitnih nalog iz analize z namigi, nasveti in rezultati, Izbrana poglavja iz matematike in računalništva, DMFA-založništvo, Ljubljana, 2000.
M. Dobovišek, Rešene naloge iz Analize II, Izbrana poglavja iz matematike in računalništva, DMFA-založništvo, Ljubljana, 2001.
J. Cimprič, Rešene naloge iz Analize III, Izbrana poglavja iz matematike in računalništva, DMFA-založništvo, Ljubljana, 2001.
M. Spiegel: Schaum's Outline of Advanced Mathematics for Engineers and Scientists
(Schaum's Outline Series), McGraw-Hill, New York 2009.

Slušatelj spozna zahtevnejša poglavja matematične analize, kot so parcialne diferencialne enačbe (PDE), Fourierove transformacije, analitične funkcije, Besselove funkcije, ortogonalni polinomi.

Znanje in razumevanje:
Znanje ustreznih definicij in izrekov, razumevanje in deloma repliciranje (vsaj lažjih) dokazov, sposobnost aplikacije pridobljenega znanja v matematični fiziki.
Uporaba:
Snov Matematike IV nastopa v predmetih Mehanika, Matematična fizika in v več drugih predmetih študija fizike.

Refleksija:
Študent obvlada nekatere  zahtevnejše metode matematične analize in jih zna uporabiti v fiziki.
Prenosljive spretnosti - niso vezane le na en predmet:
Razumevanje uporabnosti splošnejše obravnave matematičnih problemov in višjega nivoja abstrakcije, povezava z že obvladano snovjo. Uporaba domače in tuje literature,  reševanje in pravočasno oddajanje domačih nalog. Iskanje podatkov in pomoči  v literaturi ali na medmrežju. Študenti si morajo zapomniti važnejše dele snovi.

Predavanja, vaje, domače vaje, tutorske vaje.

Izpit iz vaj ali dva kolokvija namesto izpita iz vaj
Izpit iz teorije, lahko domače naloge
(ocene: 5 (negativno), 6-10 (pozitivno), ob upoštevanju Statuta UL)

prof. dr. P. Legiša:

• P. Legiša, Adjacency preserving mappings on real symmetric matrices. Math.
  commun., Croat. Math. Soc., Divis. Osijek, 2011, vol. 16, no. 2, 419-432.

• P. Legiša, Automorphisms of Mn, partially ordered by the star order. Linear
  multilinear algebra, 2006, vol. 54, no. 3, 157-188.

• P. Legiša, Automorphisms of Mn, partially ordered by rank subtractivity
  ordering. Linear algebra appl. 2004, vol. 389, 147-158.
  prof. dr. B. Magajna:

• B. Magajna, Sums of products of positive operators and spectra of Lüders
  operators, Proc. Amer. Math. Soc. 141 (2013) 1349-1360.

• B. Magajna, Fixed points of normal completely positive maps on B(H), J. Math.
  Anal. Appl. 389 (2012) 1291-1302.
  81

• B. Magajna, The Haagerup norm on the tensor product of operator modules,
  J. Funct. Anal. 129 (1995) 325-348.
  prof. dr. J. Mrčun:

• I. Moerdijk, J. Mrčun: On the developability of Lie subalgebroids. Adv. Math.
  210 (2007), 1-21.

• J. Mrčun: On isomorphisms of algebras of smooth functions. Proc. Amer. Math.
  Soc. 133 (2005), 3109-3113.

• I. Moerdijk, J. Mrčun: On integrability of infinitesimal actions. Amer. J. Math.
  124 (2002), 567-593.