Preskoči na glavno vsebino

Matematika I

2020/2021
Program:
Univerzitetni študijski program 1. stopnje Fizika
Smer:
Meteorologija
Letnik:
1 letnik
Semester:
prvi ali drugi
Vrsta:
obvezni
ECTS:
10
Jezik:
slovenski
Ure na teden – 1. ali 2. semester:
Predavanja
6
Seminar
0
Vaje
4
Laboratorij
0
Pogoji za vključitev v delo oz. za opravljanje študijskih obveznosti

Vpis v letnik.
Opravljen izpit iz vaj je pogoj za pristop k ustnemu/teoretičnemu izpitu.

Vsebina

Množice: družine množic, kartezični produkt.  Relacija, ekvivalenčna relacija. Funkcije: injektivna, surjektivna, bijektivna funkcija, graf funkcije, inverzna funkcija, kompozitum funkcij.
Naravna števila, princip popolne indukcije. Cela, racionalna števila. Realna števila: urejenost realnih števil, supremum, infimum, polnost. Kompleksna števila: polarni zapis, koreni enote.
Vektorji v trirazsežnem prostoru. Skalarni, vektorski, mešani produkt, dvojni vektorski produkt. Vzporedni premik koordinatnega sistema, daljica, konveksnost. Enačba ravnine, premice.
Zaporedje realnih ali kompleksnih števil: stekališče, limita. Cauchyjevo zaporedje. Vsako omejeno zaporedje realnih ali kompleksnih števil ima stekališče. Računanje z zaporedji. Število e.
Realne funkcije realne spremenljivke. Zveznost funkcije. Računanje z zveznimi realnimi funkcijami. Lastnosti realnih zveznih funkcij. Enakomerna zveznost. Limita funkcije. Inverzna funkcija k monotoni realni funkciji. Krožne funkcije, eksponentna funkcija, logaritemska funkcija. Limite v neskončnosti in neskončne limite, asimptote grafov. Parametrično podane krivulje.
Odvod. Aproksimacija z odvodom. Pravila za odvajanje. Odvodi elementarnih funkcij. Višji odvodi. Lokalni ekstremi, Rollov in Lagrangeov izrek. L' Hospitalova pravila. Risanje funkcij. Newtonova metoda iskanja ničel.
Nedoločeni integral. Določeni integral: spodnje in zgornje vsote, Riemannove vsote. Lastnosti integrala. Glavni izrek integralskega računa. Povprečna vrednost. (Numerična integracija: trapezna in Simpsonova formula.) Izlimitirani integrali. Ploščine, prostornine in površine rotacijskih teles. Krivulje v trirazsežnem prostoru: dolžina loka, ukrivljenost, torzija, Frenet–Serret-jeve formule.
Vrste realnih in kompleksnih števil. Absolutna konvergenca. Konvergenčni kriteriji: kvocientni, korenski, integralski. Funkcijska zaporedja in vrste, enakomerna konvergenca. Odvajanje in integriranje funkcijskih zaporedij in vrst. Potenčne vrste, konvergenčni radij. Taylorjeva formula in Taylorjeva vrsta. Eksponentna vrsta, logaritemska vrsta, binomska vrsta, vrsti za funkciji sinus in kosinus. Eksponentna funkcija v kompleksnem.
Večrazsežni evklidski prostor. Funkcije več spremenljivk. Zvezne funkcije več spremenljivk in njihove lastnosti. Parcialni odvodi, višji parcialni odvodi. Taylorjeva vrsta funkcije več spremenljivk. Ekstremi funkcije več spremenljivk. Zadostni pogoj za ekstrem funkcije dveh spremenljivk. Integrali s parametrom.

Temeljni literatura in viri

F. Križanič, Temelji realne matematične analize. Državna založba Slovenije, Ljubljana, 1990.
M. H. Protter, C. B. Morrey, Intermediate Calculus. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1985.
W. Rudin, Principles of mathematical analysis. McGraw-Hill, Auckland, 1976.
I. Vidav, Višja matematika I. Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije, Ljubljana, 1994.

Cilji in kompetence

Študent spozna osnovne pojme matematične analize, kot so limita, zveznost, odvod in integral funkcije ene realne spremenljivke, številske in funkcijske vrste, poleg tega pa tudi zveznost ter odvod funkcije več realnih spremenljivk. Matematika 1 sodi med temeljne predmete pri študiju fizike.

Predvideni študijski rezultati

Znanje in razumevanje: Poznavanje in razumevanje osnovnih pojmov, definicij in izrekov.
Uporaba: Matematika 1 sodi med temeljne predmete pri študiju fizike. Razumevanje snovi predmeta je nepogrešljivo pri mnogih drugih matematičnih in fizikalnih predmetih na programu ter pri reševanju problemov v fiziki.
Refleksija: Razumevanje teorije na podlagi uporabe.
Prenosljive spretnosti - niso vezane le na en predmet: Spretnosti uporabe domače in tuje literature in drugih virov, identifikacija in reševanje problemov, kritična analiza.

Metode poučevanja in učenja

Predavanja in vaje, domače naloge.

Načini ocenjevanja

2 kolokvija namesto izpita iz vaj, izpit iz vaj, domače naloge (neobvezno)
Ustni izpit / izpit iz teorije
(ocene: 5 (negativno), 6-10 (pozitivno), ob upoštevanju Statuta UL)

Reference nosilca

prof. dr. P. Legiša:

  • P. Legiša, Adjacency preserving mappings on real symmetric matrices. Math.
    commun., Croat. Math. Soc., Divis. Osijek, 2011, vol. 16, no. 2, 419-432.

  • P. Legiša, Automorphisms of Mn, partially ordered by the star order. Linear
    42
    multilinear algebra, 2006, vol. 54, no. 3, 157-188.

  • P. Legiša, Automorphisms of Mn, partially ordered by rank subtractivity
    ordering. Linear algebra appl. 2004, vol. 389, 147-158.
    prof. dr. B. Magajna:

  • B. Magajna, Sums of products of positive operators and spectra of Lüders
    operators, Proc. Amer. Math. Soc. 141 (2013) 1349-1360.

  • B. Magajna, Fixed points of normal completely positive maps on B(H), J. Math.
    Anal. Appl. 389 (2012) 1291-1302.

  • B. Magajna, The Haagerup norm on the tensor product of operator modules,
    J. Funct. Anal. 129 (1995) 325-348.
    prof. dr. J. Mrčun:

  • I. Moerdijk, J. Mrčun: On the developability of Lie subalgebroids. Adv. Math.
    210 (2007), 1-21.

  • J. Mrčun: On isomorphisms of algebras of smooth functions. Proc. Amer. Math.
    Soc. 133 (2005), 3109-3113.

  • I. Moerdijk, J. Mrčun: On integrability of infinitesimal actions. Amer. J. Math.
    124 (2002), 567-593.
    43