Preskoči na glavno vsebino

Matematika IV

2020/2021
Program:
Univerzitetni študijski program 1. stopnje Fizika
Smer:
Meteorologija
Letnik:
2 letnik
Semester:
drugi
Vrsta:
obvezni
ECTS:
6
Jezik:
slovenski
Ure na teden – 2. semester:
Predavanja
4
Seminar
0
Vaje
2
Laboratorij
0
Pogoji za vključitev v delo oz. za opravljanje študijskih obveznosti

Vpis v letnik

Opravljen izpit iz vaj je pogoj za pristop k izpitu iz teorije.

Med obveznostmi študenta so lahko tudi domače naloge.

Vsebina

Holomorfne funkcije: razširjena kompleksna ravnina, območja in poti, Cauchy - Riemannov sistem, krivuljni integrali, ovojno število, Cauchyjeva formula, Liouvillov izrek, razvoj v Laurentovo in v potenčno vrsto, ničle holomorfnih funkcij, izolirane singularne točke, logaritem in potence, izrek o residuih, funkcija gama v kompleksnem, odprtost holomorfnih preslikav in princip maksima, linearna lomljena transformacija.

Harmonične funkcije: Poissonova formula za krog, harmonične funkcije v prostoru (Dirichletov problem in Greenova funkcija).

Fourierova transformacija: konvolucija, osnovne lastnosti Fourierove transformacije, inverzna formula in Plancherelov izrek, uporaba (pri reševanju toplotne enačbe).

Reševanje linearnih diferencialnih enačb drugega reda s potenčno vrsto: regularne in pravilne singularne točke, Besselova enačba in funkcije, Legendreova enačba, polinomi in pridružene funkcije (sferne funkcije), drugi ortogonalni polinomi (Hermiteovi in Laguerrovi).

Robni problemi: nihanje strune (reševanje s Fourierovo metodo ločitve spremenljivk in d’Alembertova formula), regularni Sturm-Liouvillov problem, nihanje krožne membrane, Laplaceova enačba na krogli.

Temeljni literatura in viri

G. B. Folland, Fourier Analysis and its Applications, AMS, Providence RI, 1992.

S. Lang, Complex Analysis, Springer, New York, 2003.

B. Magajna, Uvod v diferencialne enačbe, kompleksno in Fourierovo analizo, DMFA-založništvo, Ljubljana 2018.

G. F. Simmons, Differential Equations with Appl. And Historical Notes, Chapman and Hall/CRC, Boca Raton, 2016.

A. Suhadolc, Metrični prostor, Hilbertov prostor, Fourierova analiza, Laplaceova transformacija, Matematični rokopisi 23, DMFA, Ljubljana, 1998.

E. Zakrajšek, Analiza III, Matematični rokopisi 21, DMFA-založništvo, Ljubljana 2002.

M. Braun, Differential Equations and Their Applications, 4th ed. Applied mathematical sciences 15, Springer-Verlag, New York 1993.

Cilji in kompetence

Slušatelj spozna nekatera orodja matematične analize, ki so pomembna za uporabo v fiziki.

Predvideni študijski rezultati

Znanje in razumevanje:
Znanje ustreznih definicij in izrekov, razumevanje in dokazov, sposobnost aplikacije pridobljenega znanja v matematični fiziki.

Uporaba:
Snov Matematike IV nastopa v predmetih Mehanika, Matematična fizika in v več drugih predmetih študija fizike.

Refleksija:
Študent obvlada nekatere metode matematične analize in jih zna uporabiti v fiziki.
Prenosljive spretnosti - niso vezane le na en predmet:
Razumevanje uporabnosti splošnejše obravnave matematičnih problemov in višjega nivoja abstrakcije, povezava z že obvladano snovjo. Uporaba domače in tuje literature, reševanje in pravočasno oddajanje domačih nalog. Iskanje podatkov in pomoči v literaturi ali na medmrežju. Študenti si morajo zapomniti važnejše dele snovi.

Metode poučevanja in učenja

Predavanja, vaje, domače vaje, tutorske vaje.

Načini ocenjevanja

2 kolokvija namesto izpita iz vaj, pisni izpit iz vaj, domače naloge (neobvezno).
Izpit iz teorije ali ustni izpit
(ocene: 5 (negativno), 6-10 (pozitivno), ob upoštevanju Statuta UL)

Reference nosilca

Prof. Dr. Miran Černe:
1. M. Černe, M. Zajec, Boundary differential relations for holomorphic functions on the disc, Proc. Am. Math. Soc. 139 (2011), 473-484.
2. M. Černe, M. Flores, Generalized Ahlfors functions, Trans. Am. Math. Soc. 359 (2007), 671-686.
3. M. Černe, M. Flores, Quasilinear -equation on bordered Riemann surfaces, Math. Ann. 335 (2006), 379-403.

prof. dr. Bojan Magajna:
1. B. Magajna, C*-convex sets and completely positive maps, Integr. Equ. Oper. Theory 85 (2016) 37—62.
2. B. Magajna, Fixed points of normal completely positive maps on B(H), J. Math. Anal. Appl. 389 (2012) 1291--1302.
3. B. Magajna, The Haagerup norm on the tensor product of operator modules, J. Funct. Anal 129 (1995) 325—348.

prof. dr. J. Mrčun:
1. I. Moerdijk, J. Mrčun, On the developability of Lie subalgebroid, Adv. Math. 210 (2007), 1--21.
2. J. Mrčun, On isomorphisms of algebras of smooth functions, Proc. Amer. Math. Soc. 133 (2005), 3109--3113.
3. I. Moerdijk, J. Mrčun, On integrability of infinitesimal actions, Amer. J. Math. 124 (2002), 567--593.