Matematika II

2022/2023
Program:
Univerzitetni študijski program 1. stopnje Fizika
Smer:
Izobraževalna smer
Letnik:
1 letnik
Semester:
drugi
Vrsta:
obvezni
ECTS:
7
Jezik:
slovenski
Ure na teden – 2. semester:
Predavanja
4
Seminar
0
Vaje
2
Laboratorij
0
Pogoji za vključitev v delo oz. za opravljanje študijskih obveznosti

Vpis v letnik.
Opravljen izpit iz vaj je pogoj za pristop k izpitu iz teorije.

Vsebina

Vektorski prostori: linearna odvisnost, baza, razsežnost, podprostori.
Skalarni produkt na vektorskem prostoru: pravokotnost, ortonormirane baze, ortogonalni komplementi, Gram-Schmidtova ortogonalizacija.

Matrike: operacije med matrikami, transponirana matrika, kvadratne matrike, grupa obrnljivih matrik, Gaussova eliminacijska metoda, vrstična kanonična oblika matrike, rang , sistemi linearnih enačb, inverzna matrika.
Determinante: lastnosti, razvoj po vrstici ali stolpcu, determinanta produkta, Cramerjevo pravilo.
Linearni operatorji: matrika linearnega operatorja, lastne vrednosti in vektorji, karakteristični in minimalni polinom, diagonalizabilnost, Cayley-Hamiltonov izrek, invariantni podprostori.
Operatorji na prostorih s skalarnim produktom: adjungirani operator, unitarni,, sebi adjungirani in pozitivni operatorji, diagonalizacija sebiadjungiranega operatorja.
Bilinearne in kvadratne forme: kanonična oblika za linearne in za ortogonalne transformacije, ploskve drugega reda.
Metrični prostori: odprte in zaprte množice, notranjost in rob, stekališča in limite zaporedij, kompaktnost, kompaktnost v evklidskih prostorih, zvezne preslikave .
Vektorske funkcije več spremenljivk: diferenciabilnost in Jacobijeva matrika, verižno pravilo, ekstremi funkcij več spremenljivk, Hessejeva matrika, izrek o inverzni in implicitni funkciji, vezani ekstremi in Lagrangeva metoda množiteljev.

Temeljni literatura in viri

S. I. Grossman, Elementary linear algebra. Saunders College Publishing, Orlando, 1991.
P. R. Halmos, Finite-dimensional vector spaces. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1974.
F. Križanič, Temelji realne matematične analize. Državna založba Slovenije, Ljubljana, 1990.
F. Križanič, Linearna algebra in linearna analiza. Državna založba Slovenije, Ljubljana, 1993.
D. C. Lay, Linear algebra and its applications. Addison-Wesley, Reading, 1997.
B. Magajna, Linearna algebra, metrični prostor in funkcije več spremenljivk, DMFA, Ljubljana, 2011.
M. Dobovišek, B. Magajna in D. Kobal, Naloge iz algebre I, DMFA, Ljubljana, 2011.
M. H. Protter, C. B. Morrey, Intermediate Calculus. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1985.
I. Vidav, Višja matematika I. Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije, Ljubljana, 1994.

Cilji in kompetence

Študent spozna osnovne pojme linearne algebre ter pojem in uporabo odvoda vektorske funkcije več realnih spremenljivk. Matematika 2 sodi med temeljne predmete pri študiju fizike.

Predvideni študijski rezultati

Znanje in razumevanje: Poznavanje in razumevanje osnovnih pojmov in definicij.
Uporaba: Uporaba teorije pri reševanju problemov.
Refleksija: Razumevanje teorije na podlagi uporabe.
Prenosljive spretnosti - niso vezane le na en predmet: Spretnosti uporabe domače in tuje literature in drugih virov, identifikacija in reševanje problemov, kritična analiza.

Metode poučevanja in učenja

Predavanja in vaje.

Opravljen izpit iz vaj je pogoj za pristop k izpitu iz teorije.

Načini ocenjevanja

2 kolokvija namesto izpita iz vaj, izpit iz vaj
Izpit iz teorije, domače naloge (niso obvezne)
(ocene: 5 (negativno), 6-10 (pozitivno), ob upoštevanju Statuta UL)

Reference nosilca

prof. dr. P.Legiša:
1. P.Legiša, Adjacency preserving mappings on real symmetric
matrices, Math. commun.,
Croat. Math. Soc., Divis. Osijek, 2011, vol. 16, no. 2, 419-432.
2. P.Legiša, Automorphisms of Mn, partially ordered by the star
order, Linear multilinear
algebra, 2006, vol. 54, no. 3, 157-188.
3. P.Legiša, Automorphisms of Mn, partially ordered by rank
subtractivity ordering, Linear
algebra appl. 2004, vol. 389, 147-158.
prof. dr. Bojan Magajna:
1. B. Magajna, Linearna algebra, metrični prostor in funkcije več
spremenljivk, DMFA,
Ljubljana, 2011 (247 strani).
2. B. Magajna, Fixed points of normal completely positive maps on
B(H), J. Math. Anal. Appl. 389 (2012) 1291--1302.
3. B. Magajna, The Haagerup norm on the tensor product of operator
48
modules, J. Funct.
Anal 129 (1995) 325—348.
prof. dr. J. Mrčun:
1. I. Moerdijk, J. Mrčun, On the developability of Lie subalgebroid,
Adv. Math. 210 (2007),
1--21.
2. J. Mrčun, On isomorphisms of algebras of smooth functions, Proc.
Amer. Math. Soc. 133
(2005), 3109--3113.
3. I. Moerdijk, J. Mrčun, On integrability of infinitesimal actions,
Amer. J. Math. 124
(2002), 567--593.