Numerične metode

Vpis v letnik.

Uvod v numerično računanje. Premična aritmetika. Izvori napak pri numeričnem računanju. Občutljivost problemov, konvergenca metod in stabilnost računskih procesov. Ocena za celotno napako. Programska oprema za numerično računanje.
Sistemi linearnih enačb. Matrične norme. Občutljivost. Gaussova metoda. Analiza zaokrožitvenih napak. Pivotiranje. Posebni linearni sistemi.
Nelinearne enačbe. Bisekcija. Splošna iteracija. Tangentna in sekantna metoda. Algebraične enačbe. Laguerrova metoda. Redukcija korenov. Sistemi nelinearnih enačb. Splošna iteracija. Newtonova metoda.
Linearni problem najmanjših kvadratov. Predoločeni sistemi. Normalni sistem. Ortogonalni razcep.
Problem lastnih vrednosti. Schurova forma. Potenčna metoda. Inverzna potenčna metoda. QR-iteracija.
Interpolacija s polinomi. Lagrangeva oblika. Deljene diference. Newtonova oblika interpolacijskega polinoma. Numerično odvajanje.
Numerično integriranje. Newton-Cotesova pravila. Sestavljena pravila. Rombergova ekstrapolacija. Gaussova kvadraturna pravila.
Numerično reševanje navadnih diferencialnih enačb. Metode za reševanje enačb prvega reda. Enočlenske metode. Metode tipa Runge-Kutta. Sistemi diferencialnih enačb in začetni problemi višjega reda.

Z. Bohte, Numerične metode. DMFA, Ljubljana 1991.
Z. Bohte, Numerično reševanje nelinearnih enačb. DMFA, Ljubljana 1993.
Z. Bohte, Numerično reševanje sistemov linearnih enačb. DMFA, Ljubljana 1995.
E. Zakrajšek: Uvod v numerične metode, DMFA-založništvo, Ljubljana, 2000.
R. L. Burden, J. D. Faires: Numerical Analysis, 8th edition, Brooks/Cole, Pacific Grove, 2005.
D. Kincaid, W. Cheney, Numerical Analysis : Mathematics of Scientific Computing, 3rd edition, Brooks/Cole, Pacific Grove, 2002.

Slušatelj spozna osnove numeričnega računanja. Podrobneje spozna računanje v plavajoči vejici. V grobem spozna osnovne metode za reševanje linearnih in nelinearnih sistemov, računanje lastnih vrednosti, za interpolacijo, numerično integriranje in reševanje navadnih diferencialnih enačb. Pridobljeno znanje praktično utrdi z domačimi nalogami in reševanjem problemov s pomočjo programov Matlab oz. Mathematica.

Znanje in razumevanje
Razumevanje računanja s plavajočo vejico in izvorov napak pri numeričnem računanju. Obvladanje osnovnih algoritmov za reševanje linearnih in nelinearnih sistemov, za računanje lastnih vrednosti, interpolacijo, integriranje, in reševanje diferencialnih enačb. Znanje programiranja in uporabe Matlaba oz. drugih sorodnih orodij za reševanje tovrstnih problemov.
Uporaba
Ekonomično in natančno numerično reševanje različnih matematičnih problemov. Poleg matematike se uporablja še v številnih preostalih področjih vsakič, ko se da problem opisati z matematičnim modelom in se išče rezultat v numerični obliki. Številnih problemov se ne da rešiti analitično temveč le numerično, v nekaterih primerih pa je numerično reševanje mnogo bolj ekonomično od analitičnega.
Refleksija
Razumevanje teorije na podlagi uporabe.
Prenosljive spretnosti - niso vezane le na en predmet
Spretnost uporabe računalnika pri reševanju matematičnih problemov. Razumevanje razlik med eksaktnim in numeričnim računanjem.

Predavanja, vaje, domače naloge, kolokvija, pisni izpiti in konzultacije.

Sprotno preverjanje (domače naloge, kolokviji)
Končno preverjanje (pisni in ustni izpit)
(ocene: 5 (negativno), 6-10 (pozitivno), ob upoštevanju Statuta UL)

Bor Plestenjak:
· GHEORGHIU, C. I., HOCHSTENBACH, Michiel E., PLESTENJAK, Bor, ROMMES,
Joost. Spectral collocation solutions to multiparameter Mathieu's system.
Appl. math. comput., 2012, vol. 218, iss. 24, str. 11990-12000.
· PLESTENJAK, Bor, BAREL, Marc van, CAMP, Ellen van. A Cholesky LR
algorithm for the positive definite symmetric diagonal-plus-semiseparable
eigenproblem. Linear algebra appl., 2008, vol. 428, iss. 2-3, str. 586-599.
· PLESTENJAK, Bor. Numerical methods for the tridiagonal hyperbolic quadratic
eigenvalue problem. SIAM j. matrix anal. appl., 2006, vol. 28, no. 4, str. 1157-
1172.
Emil Žagar:
· JAKLIČ, Gašper, ŽAGAR, Emil. Curvature variation minimizing cubic Hermite
interpolants. Appl. math. comput., 2011, vol. 218, iss. 7, str. 3918-3924.
· JAKLIČ, Gašper, KOZAK, Jernej, KRAJNC, Marjetka, VITRIH, Vito, ŽAGAR, Emil.
Hermite geometric interpolation by rational Bézier spatial curves. SIAM j.
numer. anal., 2012, vol. 50, no. 5, str. 2695-2715.
105
· KOZAK, Jernej, ŽAGAR, Emil. On geometric interpolation by polynomial
curves. SIAM j. numer. anal., 2004, vol. 42, no. 3, str. 953-967