Matematika II

2021/2022
Program:
Visokošolski strokovni študijski program 1. stopnje Aplikativna fizika
Letnik:
letnik
Semester:
prvi in drugi
Vrsta:
obvezni
ECTS:
16
Jezik:
slovenski
Ure na teden – 1. semester:
Predavanja
3
Seminar
0
Vaje
2
Laboratorij
0
Ure na teden – 2. semester:
Predavanja
3
Seminar
0
Vaje
2
Laboratorij
0
Vsebina

Metrični prostor in Fourierova vrsta: Definicija metrike, Rn kot metrični prostor, zveznost, zaporedja in vrste. Osnovni koncepti, dejstva in tehnike razvoja v Fourierove vrste, razvoj v trigonometrijsko vrsto na intervalih [-π, π], [-L,L].

Fukncije več spremenljivk, odvajanje: Nivojnice, zveznost, parcialni odvodi in diferenciabilnost.
Izrek o implicitni in izrek o inverzni preslikavi. Višji parcialni odvodi. Taylorjeva formula. Uporaba diferencialnega računa, prosti in vezani ekstremi.

Krivulje in ploskve v prostoru: Podajanje krivulj, ločna dolžina, spremljajoči trieder krivulje,fleksijska in torzijska ukrivljenost, Frenetove formule. Podajanje ploskev, prva in druga fundamentalna forma, Gaussova ukrivljenost.

Integrali s parametrom: Zveznost in odvedljivost, iIzrek o zamenjavi vrstnega reda integriranja, funkciji gama in beta.

Večkratni Riemannov integral: Definicija dvojnega in trojnega integrala, lastnosti. zamenjava spremenljivk v večkratnem integralu. Uporaba integralov v geometriji in fiziki.

Vektorska analiza: Skalarna in vektorska polja, gradient, rotor, divergence, krivuljni in ploskovni integrali, Gaussov izrek, Stokesov izrek in Greenova formula. Uporaba v fiziki.

Diferencialne enačbe:

Navadne diferencialne enačbe:
linearna diferencialna enačba prvega reda, Eulerjeva diferencialna enačba, Bernoullijeva diferencialna enačba, Ricattijeva diferencialna enačba, eksaktna diferencialna enačba, integrirajoči množitelj, eksistenčni izreki za navadne diferencialne enačbe.

Linearne enačbe višjih redov:
Homogena linearna diferencialna enačba višjega reda, determinanta Wronskega, nehomogena linearna diferencialna enačba, metoda nedoločenih koeficientov, metoda variacije konstant, obravnavanje dušenega in vsiljenega nihanja, regulacija s povratno zanko.

Temeljni literatura in viri

M. Dobovišek, Matematika 2, DMFA založništvo, Ljubljana, 2013.
M. Dobovišek, Nekaj o diferencialnih enačbah, DMFA založništvo, 2011.
I. Vidav: Višja Matematika I, DMFA založništvo, Ljubljana, 1994, str. 233-329.
I. Vidav: Višja Matematika II, poglavje R. Jamnik: Trigonometrijske vrste, DZS, Ljubljana, 1981, str. 189-221.
I. Vidav: Višja Matematika II, DZS, Ljubljana, 1981, str. 337-381.
I. Vidav: Višja Matematika II, poglavje B. Krušič: Dvojni in mnogoterni integral, DZS, Ljubljana, 1981, str. 299-336.
I. Vidav: Višja Matematika II, poglavje M. Vencelj: Vektorska analiza, DZS, Ljubljana, 1981, str. 383-426.

Cilji in kompetence

Študenti se bodo seznanili z osnovnimi topološkimi pojmi v Rn, s trigonometričnimi vrstami in njihovo konvergenco, diferencialnim računom funkcij več realnih spremenljivk, z osnovami diferencialne geometrije krivulj in ploskev, s funkcijami, ki so podane z integrali, z večkratnimi, krivuljnimi in ploskovnimi integrali, in osnovnimi diferencialnimi enačbami prvega in drugega reda. Osvojena znanja bodo sposobni uporabiti pri konkretnih problemih iz računalništva, mehanike in na področjih, kjer se lahko za reševanje problemov uporabi znanje matematike.

Predvideni študijski rezultati

Znanje in razumevanje:
Razumevanje pojma funkcije več spremenljivk in vektorske funkcije ter diferencialnega računa funkcij več realnih spremenljivk. Razumevanje pojma integrala, osnovnih pojmov vektroske analize ter osnovnih lastnosti analitičnih funkcij. Uporaba razvitih metod v geometriji in naravoslovju.

Uporaba:
Matematika 2 sodi med temeljne predmete pri študiju matematike vseh usmeritev. Znanje Matematike 2 je nujno potrebno za razumevanje tako npr. mehanike kot vseh predmetov, ki se ukvarjajo z modeliranjem ali sistemi.

Refleksija:
Razumevanje teorije na podlagi primerov in
uporabe.

Prenosljive spretnosti – niso vezane le na en predmet:
Postavitev problema, izbira primerne metode,
reševanje problema, analiza doseženega
rezultata na primerih. Spretnost uporabe
domače in tuje literature. Znanje je uporabno v vseh vejah znanosti.

Metode poučevanja in učenja

predavanja, vaje, domače naloge, konzultacije

Načini ocenjevanja

4 kolokviji namesto izpita iz vaj ali izpit iz vaj.
Izpit iz teorije
Študenti dobijo dve oceni: eno iz vaj in drugo iz teorije.
(ocene: 5 (negativno), 6-10 (pozitivno), ob upoštevanju Statuta UL)

Reference nosilca

[1] DOBOVIŠEK, Mirko, KUZMA, Bojan, LEŠNJAK, Gorazd, LI, Chi-Kwong, PETEK, Tatjana. Mappings that preserve pairs of operators with zero triple Jordan product. Linear algebra appl.. [Print ed.], 2007, vol. 426, iss. 2-3, str. 255-279.
[2] DOBOVIŠEK, Mirko. Maps from M [sub] n(F) to F that are multiplicative with respect to the Jordan triple product. Publ. math. (Debr.), 2008, vol. 73, fasc. 1-2, str. 89-100.
[3] DOBOVIŠEK, Mirko, Nekaj o diferencialnih enačbah, (Izbrana poglavja iz matematike in računalništva, 47). 1. natis. Ljubljana: DMFA - založništvo, 2011. 131 str.
[4] DOBOVIŠEK, Mirko, Maps from M[sub]2 to M[sub]3 that are multiplicative with respect to the Jordan triple product. Aequationes Mathematicae, Vol. 85(2013), 539-552.
[5] DOBOVIŠEK, Mirko, Matematika 2, (Izbrana poglavja iz matematike in računalništva, 48). 1, natis. Ljubljana: DMFA - založništvo, 2013, 340 str.