Diferencialna geometrija

Pogojev za vključitev v delo ni.

Obvezni del:
Uvod in osnovni pojmi: Vektorska polja in Liejev oklepaj. Temeljni pojmi teorije Liejevih grup in Liejevih algeber. Diferencialne forme. Vektorski svežnji in Riemannove strukture na njih.
Glavni svežnji, pridruženi svežnji, sveženj ogrodij, pojem redukcije svežnja.
Diferencialne forme z vrednostmi v Liejevih algebrah, povezave na glavnem svežnju. Horizontalni dvig poti. Ukrivljenost in holonomija. Različni opisi ukrivljenosti na glavnem svežnju.
Povezave na vektorskih svežnjih, kovariantni odvod. Chernovi razredi.
Temelji Riemannove geometrije: Riemannova metrika, Levi-Civitájeva povezava, Riemannov tenzor ukrivljenosti in njegove lastnosti, Riccijeva in Weylova ukrivljenost, avtoparalelnost, geodetske krivulje. Eksponentna preslikava.
Izbirni del:
Podgrupe grupe GL(n,C) in simetrični prostori. Gaussova ukrivljenost na ploskvah. Poissonove in simplektične mnogoterosti. Pontrjaginovi razredi in Bottov izrek. Konformnost in Weylov tenzor.

B. A. Dubrovin, A. T. Fomenko, S. P. Novikov: Modern Geometry - Methods and Applications II : The Geometry and Topology of Manifolds, Springer, New York, 1985.
S. Helgason: Differential Geometry, Lie Groups, and Symmetric Spaces, AMS, Providence, 2001.
S. Kobayashi, K. Nomizu: Foundations of Differential Geometry I, II, John Wiley & Sons, New York, 1996.
P. Petersen: Riemannian Geometry, Springer, New York, 1997.
J. Cheeger, D. Ebin, Comparison Theorems in Riemannian Geometry, AMS Chelsea Publishing, Providence, 2008

Študent se spozna s temelji sodobne diferencialne geometrije. Osnovna pojma tega predmeta sta povezava na glavnem ali na vektorskem svežnju in ukrivljenost povezave. Ukrivljenost je predstavljena skozi optiko Frobeniusovega izreka. Vpeljan je pojem holonomije, opisana je zveza med ukrivljenostjo in holonomijo. Te pojme uporabimo pri obravnavi temeljev Riemannove geometrije. Prek Chernovih razredov poudarimo povezavo s topologijo.

Znanje in razumevanje: Poznavanje in razumevanje osnovnih pojmov in definicij iz diferencialne geometrije.
Uporaba: Uporaba teorije pri reševanju problemov.
Refleksija: Razumevanje teorije na podlagi uporabe.
Prenosljive spretnosti – niso vezane le na en predmet: Spretnosti uporabe domače in tuje literature in drugih virov, identifikacija in reševanje problemov, kritična analiza.

predavanja, vaje, domače naloge, konzultacije

Pisni izpit
Ustni izpit
(ocene: 5 (negativno), 6-10 (pozitivno), ob upoštevanju Statuta UL)

prof. dr. Janez Mrčun
• J. Mrčun: An extension of the Reeb stability theorem, Topology Appl. 70 (1996), 25-55.
• I. Moerdijk, J. Mrčun: On integrability of infinitesimal actions, Amer. J. Math. 124 (2002) 567-593.
• I. Moerdijk, J. Mrčun: Introduction to Foliations and Lie Groupoids, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 91. Cambridge University Press, Cambridge (2003).
prof. dr. Pavle Saksida
• P. Saksida: Nahm's equations and generalizations of the Neumann system, Proc. London Math. Soc. , 78 (1999), no. 3, 701-720.
• P. Saksida: Integrable anharmonic oscillators on spheres and hyperbolic spaces, Nonlinearity 14 (2001), no. 5. 977-994.
• P. Saksida: Lattices of Neumann oscillators and Maxwell-Bloch equations, Nonlinearity 19 (2006), no. 3 747-768.
prof. dr. Sašo Strle
• A. Stefanovska, S. Strle, P. Krošelj: On the overestimation of the correlation dimension, Phys. Lett. A 235 (1997), no. 1, 24-30.
• D. Ruberman, S. Strle: Mod 2 Seiberg-Witten invariants of homology tori, Math. Res. Lett. 7 (2000), no. 5-6, 789-799.
S. Strle: Bounds on genus and geometric intersections from cylindrical end moduli spaces, J. Differential Geom. 65 (2003), no. 3, 469-511.