Simplektična geometrija in intergrabilnost

2022/2023
Program:
Magistrski študijski program 2. stopnje Fizika
Smer:
Astrofizika
Letnik:
2. letnik
Semester:
prvi
Vrsta:
izbirni
ECTS:
5
Nosilec predmeta:
Ure na teden – 1. semester:
Predavanja
2
Seminar
0
Vaje
1
Laboratorij
0
Pogoji za vključitev v delo oz. za opravljanje študijskih obveznosti

Vpis v letnik študija.
Pisni izpit je pogoj za pristop k ustnemu izpitu.

Vsebina

Simplektična geometrija:
Simplektične in Poissonove mnogoterosti, Darbouxov izrek.
Lagrangeeve podmnogoterosti. Liejeva algebra hamiltonskih vektorskih polj.
Hamiltonska delovanja Liejevih grup, momentna preslikava, simplektična redukcija. Koadjungirane orbite in Kostant-Kirilove simplektične forme ter njihova uporaba v teoriji upodobitev Liejevih grup.
Integrabilnost: Arnold-Liouvilleov izrek o integrabilnih sistemih in akcijsko-kotne koordinate. Laxova enačba, spektralna krivulja, linearizacija algebraično integrabilnega sistema na Jacobijevem torusu spektralne krivulje. Laxov formalizem za parcialne diferencialne enačbe, pogoj ničelne ukrivljenosti.
Inverzni sipalni problem. Opis integrabilnih sistemov s pomočjo zančnih Liejevih algeber in R-matrike.

Temeljni literatura in viri

• V. Arnold, Mathematical Methods of Classical Mechanics, Springer, Berlin (1989)
• V. Guillemin, S. Sternberg: Symplectic techniques in physics, Cambridge University Press, Cambridge (1986)
• O. Babelon, D. Bernard, Introduction to classical integrable systems, Cambridge University Press, Cambridge (2003)
• A. I. Bobenko et al., Algebro-Geometrical Approach to Nonlinear Integrable Equations, Springer, Berlin (1994)
• T. Dauxois, M. Peyrard, Physics of Solitons, Cambridge University Press, (2006)

Cilji in kompetence

Cilji:
V prvem delu študent spozna osnove
simplektičnogeometrijskih pojmov,
potrebnih za globalni opis Hamiltonskih
sistemov. V drugem delu spozna osnovne
pojme in rezultate teorije integrabilnosti.
Kompetence:
Študent se usposobi za globalno
obravnavo nekaterih dinamičnih sistemov,
katerih fazni prostori so mnogoterosti z
netrivialno topologijo in geometrijo.
Študent se nauči nekaterih tehnik uporabe
teorije simetrij pri analitičnem reševanju
nekaterih Hamiltonskih aiatemov.

Predvideni študijski rezultati

Znanje in razumevanje
Študent najprej osvoji geometrijska
orodja, potrebna za globalno
formulacijo Hamiltonskega
formalizma. Nato se spozna z
osnovami teorije integrabilnosti.
Uporaba
Pri predmetu študent spozna nekatere
prijeme pri študiju fizikalnih simetrij.
Poznavanje relevantnih simetrij močno
pripomore k razumevanju fizikalnih
sistemov z različnih področij fizike.
Teorija integrabilnosti omogoča
analitično izrazitev evolucije nekaterih
sistemov z različnih področij fizike.
Refleksija
Študent poglobi razumevanje simetrije
kot enega ključnih matematično
fizikalnih fenomenov.
Prenosljive spretnosti - niso vezane
le na en predmet
Metode, ki jih študent spozna so
uporabne pri obravnavi sistemov iz
mehanike, statistične fizike, optike in
pri drugih disciplinah.

Metode poučevanja in učenja

Predavanja, vaje, individualne naloge, konzultacije

Načini ocenjevanja

pisni izpit in domače naloge
ustni izpit
ocene: 5 (negativno), 6-10 (pozitivno) (po Statutu UL)

Reference nosilca

prof. dr. Pavle Saksida

1.)P. Saksida, On the nonlinear Fourier transform associated with periodic AKNS-ZS systems
and its inverse, J. Phys. A: Math. Theor., 46 (2013) 22pp
2.) P. Saksida, Lattices of Neumann oscillators and Maxwell-Bloch equations, Nonlinearity, 19 (2006) 22pp
3.) P. Saksida, Maxwell-Bloch equations, C. Neumann systems and Kaluza-Klein theory, Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical, 38 (2005) 23pp
4.) P. Saksida, Integrable anharmonic oscillators on spheres and on hyperbolic spaces, Nonlinearity, 14 (2001) 18pp
5.) P. Saksida, Nahm's equations and generalizations of Neumann systems, Proceedings of London Mathematical Society, 78 (1999) 19pp