Teorija dinamičnih sistemov

2022/2023
Program:
Magistrski študijski program 2. stopnje Fizika
Smer:
Astrofizika
Letnik:
1. in 2. letnik
Semester:
prvi
Vrsta:
izbirni
ECTS:
7
Jezik:
slovenski
Nosilec predmeta:
Ure na teden – 1. semester:
Predavanja
3
Seminar
0
Vaje
1
Laboratorij
0
Vsebina

• Dinamični sistemi, matematične definicije, shematična klasifikacija s primeri.
• Prevedba zvezne dinamike na diskretno:
stroboskopska preslikava, primer: brcan rotator in 'standardna' preslikava,
Poincarejeva sečna ploskev in Poincarejeva preslikava.
• Geometrija dinamičnih sistemov: Cantorjeve množice, fraktali, fraktalna dimenzija.
• Invariantne množice in periodične orbite. Kanonične preslikave in simplektične matrike. Lokalna stabilnost in klasifikacija periodičnih orbit:
eliptični tip,
hiperbolični tip,
parabolični tip.
• Kvantitativna definicija kaosa I: eksponentna občutljivost na začetne pogoje. Merjenje kaosa: eksponenti Ljapunova in Ljapunov spekter. Numerične metode.
• Kvantitativna definicija kaosa II: Produkcija informacijske intropije. Dinamične entropije, definicije in primeri (entropija Kolmogorov-Sinai, topološka entropija). Algoritmična kompleksnost.
• Fazna povprečja, časovna povprečja in korelacijske funkcije. Deterministična difuzija, ergodičnost in mešanje.
• Enodimenzionalne preslikave. Preprosti populacijski modeli v biologiji in Feigenbaumov model - logistična preslikava. Feigenbaumov scenarij, univerzalnost prehoda v kaos v eni dimenziji. Generične bifurkacije v eni dimenziji. Izrek Šarkovskega. Invariantne gostote in Perron-Frobeniusov operator.
• Abstraktni dinamični sistemi, topološki kaos in simbolična dinamika:
Bernoulijev premik. Primer: pekovska preslikava,
Smaleova podkev,
Markovski procesi.
• Hamiltonski dinamični sistemi. Poincarejev izrek o povratnosti. Integrali gibanja, zvezne simetrije in izrek Noetherjeve.
• Integrabilnost hamiltonskih sistemov. Kanonične transformacije in generacijske funkcije. Kanonične akcije in koti. Hamilton-Jacobijeva enačba. Primeri integrabilnih sistemov.
• Slika med integrabilnostjo in kaosom:
Poincare-Birkhofov izrek,
izrek KAM (Kolmogorov, Arnold, Moser).
• Stabilne in nestabilne mnogoterosti v hamiltonskih sistemih, homoklinske in heteroklinske točke. Kriterij za globalni kaos: prekrivanje resonanc in kriterij Chirikova.
• Biljardi: Integrabilni biljardi, ergodični biljardi, KAM biljardi, primeri. Valovni in kvantni kaos.

Temeljni literatura in viri

E. Ott, "Chaos in Dynamical Systems", (Cambridge University Press, Cambridge 1993),
V. I. Arnold,"Mathematical Methods of Classical Mechanics", (Springer-Verlag, New York 1978),
A. J. Lichtenberg in M. J. Lieberman,"Regular and Stochastic Motion", (Springer-Verlag, New York 1983),
Spletna knjiga: P. Cvitanović, "Chaos - Classical and Quantum: A Cyclist Treatise", http://chaosbook.dk  (zadnja verzija, 2007)

Cilji in kompetence

Uvod v matematično teorijo dinamičnih sistemov, oz. ergodično teorijo, s poudarkom na primerih, predvsem uporabe v fiziki in mehaniki.

Predvideni študijski rezultati

Znanje in razumevanje
Pregled in razumevanje kvalitativnih dinamičnih lastnosti sistemov v fiziki in njihova kvantitativna dinamična karakterizacija.
Uporaba
Pridobljeno znanje naj bi študent znal uporabljati predvsem pri modeliranju in računalniškem simuliranju dinamičnih procesov v fiziki in tudi širše.
Refleksija
Uporaba abstraktne matematične teorije za razlago preprosto opazljivih pojavov v naravi in v računalniških simulacijah.
Prenosljive spretnosti - niso vezane le na en predmet
Metode in vsebine se neposredno navezujejo na (neravnovesno) statistično fiziko in analitično mehaniko.

Metode poučevanja in učenja

Predavanja in samostojno reševanje manjših projektnih nalog in njihova predstavitev in diskusija v okviru vaj.

Načini ocenjevanja

Izdelava manjše projektne domače naloge in njena uspešna predstavitev v okviru vaj
Izdelava nekoliko obsežnejše zaključne projektne domače naloge in njena uspešna predstavitev v obliki pisnega izdelka z zagovorom
(ocene: 5 (negativno), 6-10 (pozitivno), ob upoštevanju Statuta UL)

Reference nosilca

Prof. dr. Tomaž Prosen

1) GORIN, Thomas, PROSEN, Tomaž, SELIGMAN, Thomas H., ŽNIDARIČ, Marko. Dynamics of Loschmidt echoes and fidelity decay. Physics reports, ISSN 0370-1573. [Print ed.], 2006, 435, nos. 2-5, str.3-156. [COBISS-SI-ID 1972068]
2) PROSEN, Tomaž, ŽNIDARIČ, Marko. Matrix product simulations of non-equilibrium steady states of quantum spin chains. Journal of statistical mechanics, ISSN 1742-5468, 2009, no. 2, str. P02035-1-P02035-19. [COBISS-SI-ID 2150756]
3) PROSEN, Tomaž. Open XXZ spin chain : nonequilibrium steady state and strict bound on ballistic transport. Physical review letters, ISSN 0031-9007. [Print ed.], 2011, vol. 106, issue 21, str. 217206-1-217206-4. [COBISS-SI-ID 2347108]
4) ILIEVSKI, Enej, PROSEN, Tomaž. Thermodynamic bounds on Drude weights in terms of almost-conserved quantities. Communications in Mathematical Physics, ISSN 0010-3616, 2013, vol. 318, no. 3, str. 809-830. [COBISS-SI-ID 2535524]
PROSEN, Tomaž. Exact nonequilibrium steady state of an open Hubbard chain. Physical review letters, ISSN 0031-9007. [Print ed.], 2014, vol. 112, iss. 3, str. 030603-1-030603-5. [COBISS-SI-ID 2636644]