Uvod v diferencialno geometrijo

2018/2019
Program:
Univerzitetni študijski program 1. stopnje Finančna matematika
Letnik:
3 letnik
Semester:
prvi
Vrsta:
izbirni
Skupina:
B
ECTS:
5
Jezik:
slovenski
Ure na teden – 1. semester:
Predavanja
2
Seminar
0
Vaje
2
Laboratorij
0
Vsebina

Uvod: Definicija krivulj in ploskev in primeri. Abstraktne krivulje in ploskve ter krivulje in ploskve, vložene v tridimenzionalni realni prostor. Spremljajoči trieder krivulje. Freneteve formule. Karte, atlasi, orientabilnost, ponovitev pojmov Eulerjeve karakteristike in rodu ploskve. Gladke ploskve.
Metrika: Izometrija ploskev. Pojem metrike in izometričnosti.
Ukrivljenost: Druga fundamentalna forma ploskve v prostoru. Normalna in geodetska ukrivljenost krivulje na ploskvi. Gaussova ukrivljenost ploskve. Različni opisi in interpretacije ukrivljenosti. Povprečna ukrivljenost in minimalne ploskve. Geodetske krivulje. Geodetski koordinatni sistem.
Gaussov Theorema egregium: Gaussova ukrivljenost kot izometrična invarianta. Klasifikacija ploskev s konstantno ukrivljenostjo.
Gauss-Bonnetev izrek: Lokalna in globalna različica tega izreka. Povezava med Gaussovo ukrivljenostjo kot geometrijsko in Eulerjevo karakteristiko kot topološko invarianto. Izrek o številu stacionarnih točk vektorskega polja na sklenjeni orientabilni ploskvi. Izrek o alternirajoči vsoti minimov, maksimov in sedel funkcije na sklenjeni orientabilni ploskvi.

Temeljni literatura in viri

A. Pressley, Elementary Differential Geometry, Springer, Berlin, 2010
Vidav: Diferencialna geometrija, DMFA-založništvo, Ljubljana, 1989.
M. P. do Carmo: Differential Geometry of Curves and Surfaces, Prentice Hall, Englewood Cliffs, 1976.
D. W. Henderson: Differential Geometry : A Geometric Introduction, Prentice Hall, Upper Saddle River, 1997.
I. M. Singer, J. A. Thorpe: Lecture Notes on Elementary Topology and Geometry, Springer, New York-Heidelberg, 1976.

Cilji in kompetence

Študent spozna osnovne pojme diferencialne geometrije: metriko, ukrivljenost in geodetske krivulje. Ti pojmi so konstruirani in obravnavani na ploskvah, ki so najenostavnejše netrivialno okolje za obravnavo diferencialno-geometričnih vsebin. Pojmi so predstavljeni v glavnem na ekstrinzični način, študent pa se vseeno spozna z razliko med ekstrinzičnim in intrinzičnim pogledom na geometrijo. Prek Gauss-Bonetevega izreka je poudarjena povezava geometrije s topologijo.

Predvideni študijski rezultati

Znanje in razumevanje: Razumevanje osnovnih diferencialno geometrijskih pojmov: metrike, ukrivljenosti in geodetske krivulje. Razumevanje razlike med geometrijskimi in topološkimi lastnostmi prostorov. Sposobnost računske obravnave navedenih pojmov.
Uporaba: Opis nekaterih uporab diferencialne geometrije v mehaniki in v drugih vejah fizike. Uporaba geometrije pri topološki obravnavi ploskev. Uporaba geometrije pri reševanju nekaterih diferencialnih enačb.
Refleksija: Razumevanje teorije na podlagi uporabe.
Prenosljive spretnosti – niso vezane le na en predmet: Za razumevanje predmeta je potrebno solidno obvladanje nekaterih vsebin iz Analize 1 in Analize 2a in 2b ter iz Linearne algebre. Študent se nauči uporabljati znanje, pridobljeno pri drugih predmetih.
Spretnost uporabe domače in tuje literature.

Metode poučevanja in učenja

Predavanja, vaje, domače naloge, konzultacije

Načini ocenjevanja

Način (pisni izpit, ustno izpraševanje, naloge, projekt):
2 kolokvija namesto izpita iz vaj, izpit iz vaj,
izpit iz teorije
ocene: 1-5 (negativno), 6-10 (pozitivno) (po Statutu UL)

Reference nosilca

SAKSIDA, Pavle. On zero-curvature condition and Fourier analysis. Journal of physics. A, Mathematical and theoretical, ISSN 1751-8113, 2011, vol. 44, no. 8, 085203 (19 str.). [COBISS-SI-ID 15909465]
SAKSIDA, Pavle. Nahm's equations and generalizations Neumann system. Proceedings of the London Mathematical Society, ISSN 0024-6115, 1999, let. 78, št. 3, str. 701-720. [COBISS-SI-ID 8853849]
SAKSIDA, Pavle. Neumann system, spherical pendulum and magnetic fields. Journal of physics. A, Mathematical and general, ISSN 0305-4470, 2002, vol. 35, no. 25, str. 5237-5253. [COBISS-SI-ID 11920217]
OWENS, Brendan, STRLE, Sašo. Rational homology spheres and the four-ball genus of knots. Advances in mathematics, ISSN 0001-8708, 2006, vol. 200, iss. 1, str. 196-216. [COBISS-SI-ID 13875033]
STRLE, Sašo. Bounds on genus and geometric intersections from cylindrical end moduli spaces. Journal of differential geometry, ISSN 0022-040X, 2003, vol. 65, no. 3, str. 469-511. [COBISS-SI-ID 13135193]
STEFANOVSKA, Aneta, STRLE, Sašo, KROŠELJ, Peter. On the overestimation of the correlation dimension. Physics letters. Section A, ISSN 0375-9601. [Print ed.], 1997, vol. 235, str. 24-30. [COBISS-SI-ID 607828]