Analiza 4

Opravljeni predmeti Analiza 1, Analiza 2 in Analiza 3.

Diferenčne enačbe
Linearne diferenčne enačbe. Stabilnost rešitev. Uporaba v ekonomiji.

Diferencialne enačbe
Diferencialna enačba 1. reda. Fazni prostor, vektorska polja na faznem prostoru, integralske krivulje vektorskih polj. Osnovni primeri diferencialnih enačb. Singularne rešitve. Primeri populacijskih modelov.

Obstoj rešitev in njihova odvisnost od začetnih pogojev
Splošna rešitev. Eksistenca in enoličnost. Picardova metoda. Newtonova rešitev.

Sistemi linearnih diferencialnih enačb prvega reda
Linearizacija v okolici rešitve. Reševanje sistemov s konstantnimi koeficienti. Reševanje linearne enačbe višjega reda s konstantnimi koeficienti. Prvi integral sistema. Singularne točke linearnega sistema. Osnove teorije stabilnosti. Nelinearni sistemi Klasifikacija kritičnih točk. Osnove teorije stabilnosti in izrek Hartman – Grobman. Model Lotka-Volterra.

Variacijski račun
Nekaj primerov variacijske naloge. Euler-Lagrangeeva enačba in njeno reševanje. Naloga s prostima krajiščema. Izoperimetrična naloga. Primeri iz ekonomije.

Laplaceova transformacija
Osnovne lastnosti. Inverzna formula. Primeri uporabe.

Parcialne diferencialne enačbe 1. reda
Kvazilinearne diferencialne enačbe. Metoda karakteristik in karakteristični sistem. Nelinearne diferencialne enačbe in karakteristični sistem.

Parcialne diferencialne enačbe 2. reda
Osnovni izreki Sturm–Liouvillove teorije. Nihanje strune. Valovna enačba in D'Alembertova rešitev. Laplaceova enačba. Izpeljava toplotne enačbe in toplotnega jedra s slučajnimi sprehodi. Separacija spremenljivk. Reševanje z integralskimi transformacijami. Black-Sholesova enačba. Klasifikacija parcialnih diferencialnih enačb 2. reda v dveh spremenljivkah.

M.Braun: Differential equations and their applications, Springer, 1992
L. Perko: Differential Equations and Dynamical Systems, 3rd edition, Springer, New York, 2004.
E. Zakrajšek: Analiza III, DMFA-založništvo, Ljubljana, 2002.
F. Križanič: Navadne diferencialne enačbe in variacijski račun, DZS, Ljubljana, 1974.
Pinchover and Rubinstein: An introduction to partial differential equations,Cambridge University press, 2005
F. Križanič: Parcialne diferencialne enačbe, DMFA-založništvo, Ljubljana, 2004.

Študent se seznani s pojmom diferencialne enačbe in njene rešitve. Nauči se reševati oziroma obravnavati nekatere tipe navadnih diferencialnih enačb s posebnim poudarkom na linearnih enačbah. Spozna se z osnovami variacijskega računa in parcialnih diferencialnih enačb s poudarkom na primerih iz ekonomije.

Znanje in razumevanje:
Razumevanje pojma diferencialne enačbe in njene rešitve. Obvladanje postopkov za analitično reševanje nekaterih tipov diferencialnih enačb. Modeliranje problemov iz ekonomije in analiza modelov. Razumevanje koncepta variacijske naloge. Razumevanje koncepta parcialne diferencialne enačbe s poudarkom na toplotni enačbi.

Predavanja, vaje, domače naloge, konzultacije.

Pisni izpit
Ustno izpraševanje
Študent dobi pri predmetu dve oceni: za pisni izpit in za ustno izpraševanje posebej.
(ocene: 5 (negativno), 6-10 (pozitivno), ob upoštevanju Statuta UL)

Jasna Prezelj:
PREZELJ-PERMAN, Jasna. Weakly regular embeddings of Stein spaces with isolated singularities. Pacific journal of mathematics, ISSN 0030-8730, 2005, vol. 220, no. 1, str. 141-152. [COBISS-SI-ID 13910873]
FORSTNERIČ, Franc, IVARSSON, Björn, KUTZSCHEBAUCH, Frank, PREZELJ-PERMAN, Jasna. An interpolation theorem for proper holomorphic embeddings. Mathematische Annalen, ISSN 0025-5831, 2007, bd. 338, hft. 3, str. 545-554. [COBISS-SI-ID 14335065]
PREZELJ-PERMAN, Jasna. A relative Oka-Grauert principle for holomorphic submersions over 1-convex spaces. Transactions of the American Mathematical Society, ISSN 0002-9947, 2010, vol. 362, no. 8, str. 4213-4228. [COBISS-SI-ID 15641433]
Pavle Saksida:
SAKSIDA, Pavle. On zero-curvature condition and Fourier analysis. Journal of physics. A, Mathematical and theoretical, ISSN 1751-8113, 2011, vol. 44, no. 8, 085203 (19 str.). [COBISS-SI-ID 15909465]
SAKSIDA, Pavle. Lattices of Neumann oscillators and Maxwell-Bloch equations. Nonlinearity, ISSN 0951-7715, 2006, vol. 19, no. 3, str. 747-768. [COBISS-SI-ID 13932377]
SAKSIDA, Pavle. Maxwell-Bloch equations, C Neumann system and Kaluza-Klein theory. Journal of physics. A, Mathematical and general, ISSN 0305-4470, 2005, vol. 38, no. 48, str. 10321-10344. [COBISS-SI-ID 13802073]