Analiza 3 (s programa Matematika)

Opravljeni predmeti Analiza1, Analiza 2a.

Uvod: Diferencialna enačba 1. reda, fazni prostor, vektorska polja na faznem prostoru, integralske krivulje vektorskih polj. Osnovni primeri diferencialnih enačb. Prvi integral enačbe. Parametrično reševanje in singularne rešitve. Clairoteva enačba. Primeri uporabe.
Obstoj rešitev in njihova odvisnost od začetnih pogojev. Splošna rešitev. Tok navadne diferencialne enačbe prvega reda.
Sistemi linearnih diferencialnih enačb prvega reda. Linearizacija v okolici rešitve. Tok homogenega sistema linearnih enačb. Liouvillova formula. Reševanje sistemov s konstantnimi koeficienti. Reševanje linearne enačbe višjega reda s konstantnimi koeficienti. Vsiljeno oziroma dušeno nihanje. Singularne točke linearnega sistema. Osnove teorije stabilnosti.
Variacijski račun: Nekaj primerov variacijske naloge. Pojem Banachovega prostora. Linearni operatorji med Banachovimi prostori. Odvod operatorja med Banachovima prostoroma. Stacionarne točke funkcionala. Osnovni izrek variacijskega računa. Euler-Lagrangeeva enačba in njeno reševanje. Legendrova transformacija in kanonski sistem. Naloga s prostima krajiščema. Izoperimetrična naloga. Lagrangeeva naloga

F. Križanič: Navadne diferencialne enačbe in variacijski račun, DZS, Ljubljana, 1974.
E. Zakrajšek: Analiza III, DMFA-založništvo, Ljubljana, 2002.
V. I. Arnold: Ordinary Differential Equations, MIT Press, Cambridge, 1978.
W. Walter: Ordinary Differential Equations, Springer, New York, 1998.
S. Lefschetz: Differential Equations : Geometric Theory, 2nd edition, Dover Publications, New York, 1977.
L. Perko: Differential Equations and Dynamical Systems, 3rd edition, Springer, New York, 2004.

Študent se seznani s pojmom diferencialne enačbe in njene rešitve. Nauči se reševati oziroma obravnavati nekatere tipe navadnih diferencialnih enačb s posebnim poudarkom na linearnih enačbah. Spozna se z osnovami variacijskega računa, pri čemer se sreča tudi s pojmom odvoda operatorja med Banachovima prostoroma.

Znanje in razumevanje: Razumevanje pojma diferencialne enačbe in njene rešitve. Obvladanje postopkov za analitično reševanje nekaterih tipov diferencialnih enačb. Razumevanje koncepta variacijske naloge.
Uporaba: Formulacija nekaterih problemov iz matematike, naravoslovja in družboslovja v obliki diferencialnih enačb ter njihovo reševanje. Formulacija nekaterih matematičnih in fizikalnih problemov v obliki variacijske naloge ter reševanje teh nalog.
Refleksija: Razumevanje teorije na podlagi primerov in uporabe.
Prenosljive spretnosti – niso vezane le na en predmet: Identifikacija in reševanje problemov. Formulacija nekaterih nematematičnih problemov v matematičnem jeziku. Spretnost uporabe domače in tuje literature.

Predavanja, vaje, domače naloge, konzultacije

2 kolokvija namesto izpita iz vaj / izpit iz vaj
izpit iz teorije
(ocene: 5 (negativno), 6-10 (pozitivno), ob upoštevanju Statuta UL)

Miran Černe:
ČERNE, Miran, ZAJEC, Matej. Boundary differential relations for holomorphic functions on the disc. Proceedings of the American Mathematical Society, ISSN 0002-9939, 2011, vol. 139, no. 2, str. 473-484. [COBISS-SI-ID 15710553]
ČERNE, Miran, FLORES, Manuel. Some remarks on Hartogs' extension lemma. Proceedings of the American Mathematical Society, ISSN 0002-9939, 2010, vol. 138, no. 10, str. 3603-3609. [COBISS-SI-ID 15696473]
ČERNE, Miran. Nonlinear Riemann-Hilbert problem for bordered Riemann surfaces. American journal of mathematics, ISSN 0002-9327, 2004, vol. 126, no. 1, str. 65-87. [COBISS-SI-ID 12895577]
Barbara Drinovec Drnovšek:
DRINOVEC-DRNOVŠEK, Barbara, FORSTNERIČ, Franc. Strongly pseudoconvex domains as subvarieties of complex manifolds. American journal of mathematics, ISSN 0002-9327, 2010, vol. 132, no. 2, str. 331-360. [COBISS-SI-ID 15549529]
DRINOVEC-DRNOVŠEK, Barbara, FORSTNERIČ, Franc. Approximation of holomorphic mappings on strongly pseudoconvex domains. Forum mathematicum, ISSN 0933-7741, 2008, vol. 20, iss. 5, str. 817-840. [COBISS-SI-ID 15078745]
DRINOVEC-DRNOVŠEK, Barbara. Proper discs in Stein manifolds avoiding complete pluripolar sets. Mathematical research letters, ISSN 1073-2780, 2004, vol. 11, no. 5-6, str. 575-581. [COBISS-SI-ID 13311065]
Pavle Saksida:
SAKSIDA, Pavle. On zero-curvature condition and Fourier analysis. Journal of physics. A, Mathematical and theoretical, ISSN 1751-8113, 2011, vol. 44, no. 8, 085203 (19 str.). [COBISS-SI-ID 15909465]
SAKSIDA, Pavle. Lattices of Neumann oscillators and Maxwell-Bloch equations. Nonlinearity, ISSN 0951-7715, 2006, vol. 19, no. 3, str. 747-768. [COBISS-SI-ID 13932377]
SAKSIDA, Pavle. Maxwell-Bloch equations, C Neumann system and Kaluza-Klein theory. Journal of physics. A, Mathematical and general, ISSN 0305-4470, 2005, vol. 38, no. 48, str. 10321-10344. [COBISS-SI-ID 13802073]