Algebra 1

Pogojev za vključitev v delo ni.

Realni trirazsežni prostor. Geometrijska in algebrska struktura prostora, vektorji. Skalarni, vektorski, in mešani produkt. Analitična geometrija, ravnine in premice.
Osnovne algebrske strukture. Relacije. Operacije in homomorfizmi. Grupe. Permutacijske grupe. Kolobarji in obsegi. Vektorski prostori in linearne preslikave. Algebre.
Končno razsežni prostori. Baza in razsežnost. Kvocientni prostor in direktna vsota podprostorov. Dualni prostor in dualna preslikava.
Linearne preslikave. Prostor linearnih preslikav in matrik. Sprememba baz, ekvivalentnost in rang. Sistemi linearnih enačb.
Endomorfizmi. Algebra endomorfizmov in kvadratnih matrik. Podobnost. Determinante. Lastne vrednosti. Karakteristični in minimalni polinom. Jordanova matrika endomorfizma. Spektralna razčlenitev in funkcije matrik.
Prostori s skalarnim produktom. Skalarni produkt in norma. Gram-Schmidtova ortogonalizacija. Rieszov izrek o reprezentaciji linearnih funkcionalov. Hermitsko adjungirana preslikava.
Normalni endomorfizmi. Diagonalizacija. Sebi adjungirani endomorfizmi. Unitarni endomorfizmi. Unitarna podobnost endomorfizmov in matrik. Pozitivno definitni endomorfizmi in matrike.
Kvadratni funkcionali. Bilinearni funkcionali. Kongruentnost in Sylvestrov izrek o vztrajnosti. Krivulje in ploskve drugega reda.

1. M. Dobovišek, D. Kobal, B. Magajna: Naloge iz algebre I, Ljubljana : DMFA-založništvo, 2005, 2011, 2016.
2. J. Grasselli, A. Vadnal: Linearna algebra. Linearno programiranje, Ljubljana : DMFA - založništvo, 1994, 2003.
3. F. Križanič: Linearna algebra in linearna analiza, Ljubljana : Državna založba Slovenije, 1993.
4. I. Vidav: Algebra, Ljubljana : DMFA - založništvo, 2003, 2010.

Študent spozna osnovne pojme iz linearne algebre, ki jih potrebuje pri nadaljnjem študiju matematike. Ob tem se uči matematičnega načina razmišljanja in se spoznava s strogim matematičnim jezikom. Na vajah si pridobiva praktično, delovno znanje z obravnavanega področja.

Znanje in razumevanje: Poznavanje in razumevanje osnovnih pojmov in definicij iz linearne algebre.
Uporaba: Uporaba teorije pri reševanju problemov.
Refleksija: Razumevanje teorije na podlagi uporabe.
Prenosljive spretnosti – niso vezane le na en predmet: Spretnost prenosa teorije v prakso.

predavanja, vaje, domače naloge, konzultacije

4 kolokviji namesto izpita iz vaj, izpit iz vaj.
Izpit iz teorije
(ocene: 5 (negativno), 6-10 (pozitivno), ob upoštevanju Statuta UL)

Primož Moravec:
DELIZIA, Constantino, MORAVEC, Primož, NICOTERA, Chiara. Groups with all centralizers subnormal of defect at most two. Journal of algebra, ISSN 0021-8693, 2013, vol. 374, str. 132-140. [COBISS-SI-ID 16556889]
MORAVEC, Primož. Unramified Brauer groups of finite and infinite groups. American journal of mathematics, ISSN 0002-9327, 2012, vol. 134, no. 6, str. 1679-1704. [COBISS-SI-ID 16521305]
MORAVEC, Primož. Groups of order p [sup] 5 and their unramified Brauer groups. Journal of algebra, ISSN 0021-8693, 2012, vol. 372, str. 420-427. [COBISS-SI-ID 16521049]
Klemen Šivic:
JELISIEJEW, Joachim, ŠIVIC, Klemen. Components and singularities of Quot schemes and varieties of commuting matrices. Journal für die Reine und Angewandte Mathematik. 2022, vol. 2022, iss. 788, str. 129-187. ISSN 0075-4102. [COBISS-SI-ID 117558275]
BUCKLEY, Anita, ŠIVIC, Klemen. New examples of extremal positive linear maps. Linear algebra and its applications. Aug. 2020, vol. 598, str. 110-144. ISSN 0024-3795. [COBISS-SI-ID 16956675]
KANDIĆ, Marko, ŠIVIC, Klemen. On the dimension of the algebra generated by two positive semi-commuting matrices. Linear algebra and its applications. 2017, vol. 512, str. 136-161. ISSN 0024-3795. [COBISS-SI-ID 17776985]
David Dolžan:
DOLŽAN, David. The probability of zero multiplication in finite rings. Bulletin of the Australian Mathematical Society, ISSN 0004-9727, 2022, vol. 106, no. 1, str. 83-88. [COBISS-SI-ID 94750723]
DOLŽAN, David. Bounds for the number of idempotents in finite rings. Communications in algebra, ISSN 0092-7872, 2021, vol. 49, no. 11, str. 4800-4807, 2021. [COBISS-SI-ID 65073923]
DOLŽAN, David. Zero-divisor graph of direct products of matrices over semirings. Journal of algebra and its applications, ISSN 0219-4988, 2021, vol. 20, no. 5, 10 str. [COBISS-SI-ID 22818819]