Uvod v diferencialno geometrijo

Opravljen predmet Analiza 3.

Uvod: Definicija krivulj in ploskev in primeri. Abstraktne krivulje in ploskve ter krivulje in ploskve, vložene v tridimenzionalni realni prostor. Spremljajoči trieder krivulje. Freneteve formule. Karte, atlasi, orientabilnost, ponovitev pojmov Eulerjeve karakteristike in rodu ploskve. Gladke ploskve.
Metrika: Izometrija ploskev. Pojem metrike in izometričnosti.
Ukrivljenost: Druga fundamentalna forma ploskve v prostoru. Normalna in geodetska ukrivljenost krivulje na ploskvi. Gaussova ukrivljenost ploskve. Različni opisi in interpretacije ukrivljenosti. Povprečna ukrivljenost in minimalne ploskve. Geodetske krivulje. Geodetski koordinatni sistem.
Gaussov Theorema egregium: Gaussova ukrivljenost kot izometrična invarianta. Klasifikacija ploskev s konstantno ukrivljenostjo.
Gauss-Bonnetev izrek: Lokalna in globalna različica tega izreka. Povezava med Gaussovo ukrivljenostjo kot geometrijsko in Eulerjevo karakteristiko kot topološko invarianto. Izrek o številu stacionarnih točk vektorskega polja na sklenjeni orientabilni ploskvi. Izrek o alternirajoči vsoti minimov, maksimov in sedel funkcije na sklenjeni orientabilni ploskvi.

1. M. P. do Carmo: Differential geometry of curves and surfaces, Englewood Cliffs ; New Jersey : Prentice-Hall, cop. 1976.
2. D. W. Henderson: Differential geometry : a geometric introduction, Upper Saddle River : Prentice Hall, cop. 1998.
3. A. Pressley: Elementary differential geometry, London : Springer, cop. 2001.
4. I. M. Singer, J. A. Thorpe: Lecture notes on elementary topology and geometry, [Glenview] : Scott, Foresman and Company, cop. 1967.
5. I. Vidav: Diferencialna geometrija, Ljubljana : Društvo matematikov, fizikov in astronomov SR Slovenije, 1989.

Študent spozna osnovne pojme diferencialne geometrije: metriko, ukrivljenost in geodetske krivulje. Ti pojmi so konstruirani in obravnavani na ploskvah, ki so najenostavnejše netrivialno okolje za obravnavo diferencialno-geometričnih vsebin. Pojmi so predstavljeni v glavnem na ekstrinzični način, študent pa se vseeno spozna z razliko med ekstrinzičnim in intrinzičnim pogledom na geometrijo. Prek Gauss-Bonetevega izreka je poudarjena povezava geometrije s topologijo.

Znanje in razumevanje: Razumevanje osnovnih diferencialno geometrijskih pojmov: metrike, ukrivljenosti in geodetske krivulje. Razumevanje razlike med geometrijskimi in topološkimi lastnostmi prostorov. Sposobnost računske obravnave navedenih pojmov.
Uporaba: Opis nekaterih uporab diferencialne geometrije v mehaniki in v drugih vejah fizike. Uporaba geometrije pri topološki obravnavi ploskev. Uporaba geometrije pri reševanju nekaterih diferencialnih enačb.
Refleksija: Razumevanje teorije na podlagi uporabe.
Prenosljive spretnosti – niso vezane le na en predmet: Za razumevanje predmeta je potrebno solidno obvladanje nekaterih vsebin iz Analize 1 in Analize 2a in 2b ter iz Linearne algebre. Študent se nauči uporabljati znanje, pridobljeno pri drugih predmetih.
Spretnost uporabe domače in tuje literature.

Predavanja, vaje, domače naloge, konzultacije

2 kolokvija namesto izpita iz vaj / izpit iz vaj
izpit iz teorije
(ocene: 5 (negativno), 6-10 (pozitivno), ob upoštevanju Statuta UL)

SAKSIDA, Pavle. On zero-curvature condition and Fourier analysis. Journal of physics. A, Mathematical and theoretical, ISSN 1751-8113, 2011, vol. 44, no. 8, 085203 (19 str.). [COBISS-SI-ID 15909465]
SAKSIDA, Pavle. Nahm's equations and generalizations Neumann system. Proceedings of the London Mathematical Society, ISSN 0024-6115, 1999, let. 78, št. 3, str. 701-720. [COBISS-SI-ID 8853849]
SAKSIDA, Pavle. Neumann system, spherical pendulum and magnetic fields. Journal of physics. A, Mathematical and general, ISSN 0305-4470, 2002, vol. 35, no. 25, str. 5237-5253. [COBISS-SI-ID 11920217]
OWENS, Brendan, STRLE, Sašo. Rational homology spheres and the four-ball genus of knots. Advances in mathematics, ISSN 0001-8708, 2006, vol. 200, iss. 1, str. 196-216. [COBISS-SI-ID 13875033]
STRLE, Sašo. Bounds on genus and geometric intersections from cylindrical end moduli spaces. Journal of differential geometry, ISSN 0022-040X, 2003, vol. 65, no. 3, str. 469-511. [COBISS-SI-ID 13135193]
STEFANOVSKA, Aneta, STRLE, Sašo, KROŠELJ, Peter. On the overestimation of the correlation dimension. Physics letters. Section A, ISSN 0375-9601. [Print ed.], 1997, vol. 235, str. 24-30. [COBISS-SI-ID 607828]