Numerične metode 2

Opravljena predmeta Analiza 1 in Linearna algebra.

Nesimetrični problem lastnih vrednosti. Schurova forma. Potenčna metoda. Inverzna potenčna metoda. QR-iteracija.

Simetrični problem lastnih vrednosti. Občutljivost. Tridiagonalna QR-iteracija. Rayleighev kvocient. Jacobijeva metoda. Posplošeni problemi lastnih vrednosti.

Računanje singularnega razcepa. QR-iteracija za bidiagonalno matriko. Jacobijeva metoda.

Aproksimacija podatkov. Metoda najmanjših kvadratov. Aproksimacija periodičnih podatkov. Konstrukcija empiričnih formul.

Interpolacija s polinomi. Lagrangeeva oblika interpolacijskega polinoma. Linearna interpolacija. Zaporedne linearne interpolacije. Deljene diference. Newtonova oblika interpolacijskega polinoma. Numerično odvajanje.

Numerično integriranje. Newton-Cotesova pravila. Sestavljena pravila. Rombergova ekstrapolacija. Gaussova kvadraturna pravila.

Numerično reševanje navadnih diferencialnih enačb. Metode za reševanje enačb prvega reda. Enokoračne metode. Metode tipa Runge-Kutta.Večkoračne metode. Robni problemi.

1. Z. Bohte: Numerične metode, Ljubljana : Društvo matematikov, fizikov in astronomov SRS : Zveza organizacij za tehnično kulturo Slovenije, 1985, 1987.
2. R. L. Burden, J. D. Faires: Numerical analysis, 6th ed., Pacific Grove (Canada) : Brooks/Cole Publ. : ITP An International Thompson Publishing Company, cop. 1997.
3. B. N. Datta: Numerical linear algebra and applications, Pacific Grove : Brooks/Cole : International Thomson Publ., cop. 1994.
4. J. W. Demmel (prevod in priredba E. Zakrajšek): Uporabna numerična linearna algebra, Ljubljana : DMFA - založništvo, 2000.
5. D. Kincaid, W. Cheney: Numerical analysis : mathematics of scientific computing, 2nd ed., Pacific Grove (California) : Brooks/Cole Publishing Company, 1996.
6. L. N. Trefethen, D. Bau: Numerical linear algebra, Philadelphia : SIAM, cop. 1997.
7. E. Zakrajšek: Uvod v numerične metode, 2. popravljena izd., Ljubljana : Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije, 2000.

Študent spozna osnovne metode za reševanje problemov lastnih vrednosti in osnovne metode v numerični aproksimaciji in interpolaciji, numeričnem integriranju ter numeričnem reševanju navadnih diferencialnih enačb. Pri vajah in z domačimi nalogami pridobljeno znanje praktično utrdi.

Znanje in razumevanje: Obvladanje osnovnih numeričnih algoritmov za računanje lastnih vrednosti, interpolacijo, integriranje, in reševanje diferencialnih enačb. Znanje programiranja in uporabe programskega paketa Matlab oziroma drugih sorodnih orodij za reševanje tovrstnih problemov.

Uporaba: Ekonomično in natančno numerično reševanje različnih matematičnih problemov. Poleg matematike se uporablja še v številnih preostalih področjihm, vsakič ko je mogoče problem opisati z matematičnim modelom in se išče rezultat v numerični obliki. Številnih problemov se ne da rešiti analitično, temveč le numerično, v nekaterih primerih pa je numerično reševanje mnogo bolj ekonomično od analitičnega.

Refleksija: Razumevanje teorije na podlagi primerov in uporabe.

Prenosljive spretnosti – niso vezane le na en predmet: Izbira primerne metode, reševanje problema, analiza doseženega rezultata na primerih. Spretnost uporabe računalnika pri reševanju matematičnih problemov. Razumevanje razlik med eksaktnim in numeričnim računanjem. Predmet konstruktivno nadgrajuje znanja algebre in analize.

Predavanja, laboratorijske vaje, domače naloge, konzultacije

Način (pisni izpit, ustno izpraševanje, naloge, projekt):

Sprotno preverjanje (domače naloge, kolokviji in projektno delo)
Končno preverjanje (pisni in ustni izpit)
5 - 10, pri čemer velja, da je pozitivna ocena od 6 - 10

Marjetka Knez:

– KOZAK, Jernej, KRAJNC, Marjetka. Geometric interpolation by planar cubic polynomial curves. Computer Aided Geometric Design, ISSN 0167-8396, 2007, vol. 24, no. 2, str. 67-78 [COBISS-SI-ID 14227545]

– KRAJNC, Marjetka. Interpolation scheme for planar cubic G [sup] 2 spline curves. Acta applicandae mathematicae, ISSN 0167-8019, 2011, vol. 113, no. 2, str. 129-143 [COBISS-SI-ID 16215385]

– KRAJNC, Marjetka, VITRIH, Vito. Motion design with Euler-Rodrigues frames of quintic Pythagorean-hodograph curves. Mathematics and computers in simulation, ISSN 0378-4754. [Print ed.], 2012, vol. 82, iss. 9, str. 1696-1711 [COBISS-SI-ID 1024447572]

Bor Plestenjak:

– PLESTENJAK, Bor. Numerical methods for the tridiagonal hyperbolic quadratic eigenvalue problem. V: Fifth international workshop on accurate solution in eigenvalue problems : hagen, Germany from June 29 to July 1, 2004. Philadelphia: SIAM, 2006, vol. 28, no. 4, str. 1157-1172 [COBISS-SI-ID 14367833]

– MUHIČ, Andrej, PLESTENJAK, Bor. On the quadratic two-parameter eigenvalue problem and its linearization. Linear Algebra and its Applications, ISSN 0024-3795. [Print ed.], 2010, vol. 432, iss. 10, str. 2529-2542 [COBISS-SI-ID 15469913]

– GHEORGHIU, C. I., HOCHSTENBACH, Michiel E., PLESTENJAK, Bor, ROMMES, Joost. Spectral collocation solutions to multiparameter Mathieu's system. Applied mathematics and computation, ISSN 0096-3003. [Print ed.], 2012, vol. 218, iss. 24, str. 11990-12000 [COBISS-SI-ID 16484185]