Algebra 1

2021/2022
Program:
Univerzitetni študijski program 1. stopnje Matematika
Letnik:
1 letnik
Semester:
prvi in drugi
Vrsta:
obvezni
ECTS:
14
Jezik:
slovenski
Ure na teden – 1. semester:
Predavanja
3
Seminar
0
Vaje
3
Laboratorij
0
Ure na teden – 2. semester:
Predavanja
3
Seminar
0
Vaje
3
Laboratorij
0
Vsebina

Realni trirazsežni prostor. Geometrijska in algebrska struktura prostora, vektorji. Skalarni, vektorski, in mešani produkt. Analitična geometrija, ravnine in premice.
Osnovne algebrske strukture. Relacije. Operacije in homomorfizmi. Grupe. Permutacijske grupe. Kolobarji in obsegi. Vektorski prostori in linearne preslikave. Algebre.
Končno razsežni prostori. Baza in razsežnost. Kvocientni prostor in direktna vsota podprostorov. Dualni prostor in dualna preslikava.
Linearne preslikave. Prostor linearnih preslikav in matrik. Sprememba baz, ekvivalentnost in rang. Sistemi linearnih enačb.
Endomorfizmi. Algebra endomorfizmov in kvadratnih matrik. Podobnost. Determinante. Lastne vrednosti. Karakteristični in minimalni polinom. Jordanova matrika endomorfizma. Spektralna razčlenitev in funkcije matrik.
Prostori s skalarnim produktom. Skalarni produkt in norma. Gram-Schmidtova ortogonalizacija. Rieszov izrek o reprezentaciji linearnih funkcionalov. Hermitsko adjungirana preslikava.
Normalni endomorfizmi. Diagonalizacija. Sebi adjungirani endomorfizmi. Unitarni endomorfizmi. Unitarna podobnost endomorfizmov in matrik. Pozitivno definitni endomorfizmi in matrike.
Kvadratni funkcionali. Bilinearni funkcionali. Kongruentnost in Sylvestrov izrek o vztrajnosti. Krivulje in ploskve drugega reda.

Temeljni literatura in viri

F. Križanič: Linearna algebra in linearna analiza, DZS, Ljubljana, 1993.
J. Grasselli: Linearna algebra, 1. pogl. v I. Vidav: Višja matematika II, DZS, Ljubljana, 1981.
I. Vidav: Algebra, DMFA-založništvo, Ljubljana, 2003.
M. Dobovišek, D. Kobal, B. Magajna: Naloge iz algebre I, DMFA-založništvo, Ljubljana, 2005.

Cilji in kompetence

Študent spozna osnovne pojme iz linearne algebre, ki jih potrebuje pri nadaljnjem študiju matematike. Ob tem se uči matematičnega načina razmišljanja in se spoznava s strogim matematičnim jezikom. Na vajah si pridobiva praktično, delovno znanje z obravnavanega področja.

Predvideni študijski rezultati

Znanje in razumevanje: Poznavanje in razumevanje osnovnih pojmov in definicij iz linearne algebre.
Uporaba: Uporaba teorije pri reševanju problemov.
Refleksija: Razumevanje teorije na podlagi uporabe.
Prenosljive spretnosti – niso vezane le na en predmet: Spretnost prenosa teorije v prakso.

Metode poučevanja in učenja

predavanja, vaje, domače naloge, konzultacije

Načini ocenjevanja

4 kolokviji namesto izpita iz vaj, izpit iz vaj.
Izpit iz teorije
(ocene: 5 (negativno), 6-10 (pozitivno), ob upoštevanju Statuta UL)

Reference nosilca

Peter Šemrl:
RODMAN, Leiba, ŠEMRL, Peter. Neutral subspaces of pairs of symmetric/skewsymmetric real matrices. The electronic journal of linear algebra, ISSN 1081-3810, 2011, vol. 22, str. 979-999. [COBISS-SI-ID 16067929]
MBEKHTA, Mostafa, ŠEMRL, Peter. Linear maps preserving semi-Fredholm operators and generalized invertibility. Linear and Multilinear Algebra, ISSN 0308-1087, 2009, vol. 57, no. 1, str. 55-64. [COBISS-SI-ID 15058521]
CHEBOTAR, M. A., ŠEMRL, Peter. Minimal locally linearly dependent spaces of operators. Linear Algebra and its Applications, ISSN 0024-3795. [Print ed.], 2008, vol. 429, iss. 4, str. 887-900. [COBISS-SI-ID 14810969]

Klemen Šivic:
KLEP, Igor, MCCULLOUGH, Scott, ŠIVIC, Klemen, ZALAR, Aljaž. There are many more positive maps than completely positive maps. International mathematics research notices. June 2019, vol. 2019, iss. 11, str. 3313-3375. ISSN 1073-7928. [COBISS-SI-ID 18670425]
KANDIĆ, Marko, ŠIVIC, Klemen. On the dimension of the algebra generated by two positive semi-commuting matrices. Linear Algebra and its Applications. [Print ed.]. 2017, vol. 512, str. 136-161. ISSN 0024-3795. [COBISS-SI-ID 17776985]
KUZMA, Bojan, OMLADIČ, Matjaž, ŠIVIC, Klemen, TEICHMANN, Josef. Exotic one-parameter semigroups of endomorphisms of a symmetric cone. Linear Algebra and its Applications. [Print ed.]. 2015, vol. 477, str. 42-75. ISSN 0024-3795. [COBISS-SI-ID 17257561]