Uvod v numerične metode

2021/2022
Program:
Univerzitetni študijski program 1. stopnje Matematika
Letnik:
3 letnik
Semester:
prvi
Vrsta:
obvezni
ECTS:
6
Jezik:
slovenski
Ure na teden – 1. semester:
Predavanja
3
Seminar
0
Vaje
3
Laboratorij
0
Vsebina

Uvod v numerično računanje. Premična aritmetika, model IEEE. Izvori napak pri numeričnem računanju. Občutljivost problemov, konvergenca metod in stabilnost računskih procesov. Ocena za celotno napako. Programska oprema za numerično računanje.
Sistemi linearnih enačb. Matrične norme. Občutljivost. Ocena za napako. Gaussova metoda. Analiza zaokrožitvenih napak. Pivotiranje. Posebni linearni sistemi.
Nelinearne enačbe. Bisekcija. Splošna iteracija. Tangentna in sekantna metoda. Algebraične enačbe. Laguerrova metoda. Redukcija korenov. Sistemi nelinearnih enačb. Splošna iteracija. Newtonova metoda.
Linearni problem najmanjših kvadratov. Predoločeni sistemi. Normalni sistem. Ortogonalni razcep. Givensove rotacije in Householderjeve transformacije.
Problem lastnih vrednosti. Schurova forma. Potenčna metoda. Inverzna potenčna metoda. QR-iteracija.
Interpolacija s polinomi. Lagrangeeva oblika interpolacijskega polinoma. Deljene diference. Newtonova oblika interpolacijskega polinoma. Numerično odvajanje.
Numerično integriranje. Newton–Cotesova pravila. Sestavljena pravila. Rombergova ekstrapolacija. Gaussova kvadraturna pravila.
Numerično reševanje navadnih diferencialnih enačb. Metode za reševanje enačb prvega reda. Enočlenske metode. Metode tipa Runge-Kutta. Sistemi diferencialnih enačb in začetni problemi višjega reda.

Temeljni literatura in viri
  • J. W. Demmel: Uporabna numerična linearna algebra, DMFA-založništvo, Ljubljana, 2000.
  • Z. Bohte: Numerične metode, DMFA-založništvo, Ljubljana, 1991.
  • Z. Bohte: Numerično reševanje nelinearnih enačb, DMFA-založništvo, Ljubljana, 1993.
  • Z. Bohte: Numerično reševanje sistemov linearnih enačb, DMFA-založništvo, Ljubljana, 1994.
  • G. H. Golub, C. F. Van Loan: Matrix Computations, 3rd edition, Johns Hopkins Univ. Press, Baltimore, 1996.
  • B. N. Datta: Numerical Linear Algebra and Applications, Brooks/Cole, Pacific Grove, 1995.
  • L. N. Trefethen, D. Bau: Numerical Linear Algebra, SIAM, Philadelphia, 1997.
  • R. L. Burden, J. D. Faires: Numerical Analysis, 8th edition, Brooks/Cole, Pacific Grove, 2005.
  • D. R. Kincaid, E. W. Cheney: Numerical Analysis : Mathematics of Scientific Computing, 3rd edition, Brooks/Cole, Pacific Grove, 2002.
Cilji in kompetence

Slušatelj spozna osnove numeričnega računanja. Podrobneje spozna računanje s plavajočo vejico ter reševanje linearnih in nelinearnih sistemov. V grobem spozna osnovne metode za računanje lastnih vrednosti, za interpolacijo, numerično integriranje in reševanje navadnih diferencialnih enačb. Pridobljeno znanje praktično utrdi z domačimi nalogami in reševanjem problemov s pomočjo programov za numerično računanje.

Predvideni študijski rezultati

Znanje in razumevanje: Razumevanje računanja s plavajočo vejico in izvorov napak pri numeričnem računanju. Obvladanje osnovnih algoritmov za reševanje linearnih in nelinearnih sistemov. Poznavanje osnovnih numeričnih algoritmov za računanje lastnih vrednosti, interpolacijo, integriranje, in reševanje diferencialnih enačb. Znanje programiranja in uporabe Matlaba oziroma drugih sorodnih orodij za reševanje tovrstnih problemov.

Uporaba: Ekonomično in natančno numerično reševanje različnih matematičnih problemov. Poleg matematike se uporablja še v številnih prostalih področjih, vsakič ko se da problem opisati z matematičnim modelom in se išče rezultat v numerični obliki. Številnih problemov ni mogoče rešiti analitično, temveč le numerično, v nekaterih primerih pa je numerično reševanje mnogo bolj ekonomično od analitičnega.

Refleksija: Razumevanje teorije na podlagi uporabe.

Prenosljive spretnosti – niso vezane le na en predmet: Spretnost uporabe računalnika pri reševanju matematičnih problemov. Razumevanje razlik med eksaktnim in numeričnim računanjem. Predmet konstruktivno nadgrajuje znanja algebre in analize.

Metode poučevanja in učenja

Predavanja, vaje, domače naloge, konzultacije

Načini ocenjevanja

Sprotno preverjanje (domače naloge, kolokviji in projektno delo).
Končno preverjanje (pisni in ustni izpit).
(ocene: 5 (negativno), 6-10 (pozitivno), ob upoštevanju Statuta UL)

Reference nosilca

Bor Plestenjak:

  • GHEORGHIU, C. I., HOCHSTENBACH, Michiel E., PLESTENJAK, Bor, ROMMES, Joost. Spectral collocation solutions to multiparameter Mathieu's system. Applied mathematics and computation, ISSN 0096-3003. [Print ed.], 2012, vol. 218, iss. 24, str. 11990-12000. [COBISS-SI-ID 16484185]
  • PLESTENJAK, Bor, BAREL, Marc van, CAMP, Ellen van. A Cholesky LR algorithm for the positive definite symmetric diagonal-plus-semiseparable eigenproblem. V: CHING, Wai-Ki (ur.). Second international conference on structured matrices : Hong Kong Baptist University, 08-11 June 2006, (Linear algebra and its applications, ISSN 0024-3795, Vol. 428, Issues 2-3, 2008). New York: North Holland, 2008, vol. 428, iss. 2-3, str. 586-599. [COBISS-SI-ID 14475097]
  • PLESTENJAK, Bor. Numerical methods for the tridiagonal hyperbolic quadratic eigenvalue problem. V: Fifth international workshop on accurate solution in eigenvalue problems : hagen, Germany from June 29 to July 1, 2004. Philadelphia: SIAM, 2006, vol. 28, no. 4, str. 1157-1172. [COBISS-SI-ID 14367833]

Emil Žagar:

  • JAKLIČ, Gašper, ŽAGAR, Emil. Curvature variation minimizing cubic Hermite interpolants. Applied mathematics and computation, ISSN 0096-3003. [Print ed.], 2011, vol. 218, iss. 7, str. 3918-3924. [COBISS-SI-ID 16049241]
  • JAKLIČ, Gašper, KOZAK, Jernej, KRAJNC, Marjetka, VITRIH, Vito, ŽAGAR, Emil. Hermite geometric interpolation by rational Bézier spatial curves. SIAM journal on numerical analysis, ISSN 0036-1429, 2012, vol. 50, no. 5, str. 2695-2715. [COBISS-SI-ID 16449369]
  • KOZAK, Jernej, ŽAGAR, Emil. On geometric interpolation by polynomial curves. SIAM journal on numerical analysis, ISSN 0036-1429, 2004, vol. 42, no. 3, str. 953-967. [COBISS-SI-ID 13398617]