Analiza 4

Opravljena predmeta Analiza 2a in Analiza 2b.

Osnovni pojmi parcialnih diferencialnih enačb. Red enačbe. Linearne, semilinearne, kvazilinearne in popolnoma nelinearne parcialne diferencialne enačbe. Klasična rešitev. Cauchyjeva naloga.
Parcialne diferencialne enačbe prvega reda za funkcije dveh spremenljivk.
Geometrijski pomen. Karakteristike. Pfaffova enačba. Obstoj rešitev Cauchyjeve naloge.
Uporaba Fourierove in Laplaceove transformacije.
Klasifikacija parcialnih diferencialnih enačb drugega reda za funkcije dveh spremenljivk. Kanonične oblike eliptičnih, paraboličnih in hiperboličnih enačb.
Laplaceova enačba. Harmonične funkcije. Newtonov potencial. Greenove identitete. Osnovne lastnosti harmoničnih funkcij. Izrek o povprečni vrednosti. Princip maksima. Liouvillov izrek. Fundamentalna rešitev. Rešitve nehomogene Laplaceove enačbe. Dirichletev in Neumannov problem. Greenova funkcija. Poissonovo jedro.
Toplotna enačba. Gaussovo jedro. Toplotna enačba na neskončni palici. Toplotna enačba na končni palici.
Valovna enačba. Valovna enačba na neskončni struni. D'Alembertova rešitev. Valovna enačba na končni struni.

Y. Pinchover, J. Rubinstein: An Introduction to Partial Differential Equations, CUP, Cambridge, 2005
L. C. Evans: Partial Differential Equations, AMS, Providence, 1998.
G. B. Folland: Introduction to Partial Differential Equations, 2nd edition, Princeton Univ. Press, Princeton, 1995.
F. John: Partial Differential Equations, 4th edition, Springer, New York, 1991.
F. Križanič: Parcialne diferencialne enačbe, DMFA-založništvo, Ljubljana, 2004.
N. Sneddon: Elements of Partial Differential Equations
Suhadolc: Integralske transformacije/Integralske enačbe, DMFA-založništvo, Ljubljana, 1994
A. Suhadolc: Metrični prostor, Hilbertov prostor, Fouriereva analiza, Laplaceova transformacija, DMFA-založništvo, Ljubljana, 1998.

Slušatelj spozna osnove teorije parcialnih diferencialnih enačb in njihovo povezavo s fiziko. Predstavljene so parcialne diferencialne enačbe prvega in drugega reda za funkcije dveh spremenljivk. Slušatelj spozna Laplaceovo, toplotno in valovno enačbo ter osnovne lastnosti njihovih rešitev. Predstavljeni so načini reševanja teh enačb z uporabo Fourierovih vrst, Fourierove transformacije in s pomočjo Greenovih funkcij.

Znanje in razumevanje: Razumevanje pojma parcialne diferencialne enačbe in njene rešitve. Obvladanje postopkov za analitično reševanje nekaterih tipov parcialnih diferencialnih enačb. Obvladanje uporabe Fourierove in Laplaceove transformacije. Razumevanje lastnosti rešitev različnih parcialnih diferencialnih enačb drugega reda.
Uporaba: Formulacija nekaterih matematičnih in nematematičnih problemov v obliki parcialnih diferencialnih enačb. Reševanje dobljenih parcialnih diferencialnih enačb.
Refleksija: Razumevanje teorije na podlagi primerov in uporabe.
Prenosljive spretnosti – niso vezane le na en predmet: Identifikacija, formulacija in reševanje matematičnih in nematematičnih problemov s pomočjo parcialnih diferencialnih enačb. Spretnost uporabe domače in tuje literature.

Predavanja, vaje, domače naloge, konzultacije

2 kolokvija namesto izpita iz vaj / izpit iz vaj
izpit iz teorije
(ocene: 5 (negativno), 6-10 (pozitivno), ob upoštevanju Statuta UL)

ČERNE, Miran. Nonlinear Riemann-Hilbert problem for bordered Riemann surfaces. American journal of mathematics, ISSN 0002-9327, 2004, vol. 126, no. 1, str. 65-87. [COBISS-SI-ID 12895577]
ČERNE, Miran, FORSTNERIČ, Franc. Embedding some bordered Riemann surfaces in the affine plane. Mathematical research letters, ISSN 1073-2780, 2002, vol. 9, no. 5-6, str. 683-696. [COBISS-SI-ID 12391257]
ČERNE, Miran. Maximal plurisubharmonic functions and the polynomial hull of a completely circled fibration. Arkiv för matematik, ISSN 0004-2080, 2002, vol. 40, no. 1, str. 27-45. [COBISS-SI-ID 11623513]
SAKSIDA, Pavle. Lattices of Neumann oscillators and Maxwell-Bloch equations. Nonlinearity, ISSN 0951-7715, 2006, vol. 19, no. 3, str. 747-768. [COBISS-SI-ID 13932377]
SAKSIDA, Pavle. Maxwell-Bloch equations, C Neumann system and Kaluza-Klein theory. Journal of physics. A, Mathematical and general, ISSN 0305-4470, 2005, vol. 38, no. 48, str. 10321-10344. [COBISS-SI-ID 13802073]
SAKSIDA, Pavle. Nahm's equations and generalizations Neumann system. Proceedings of the London Mathematical Society, ISSN 0024-6115, 1999, let. 78, št. 3, str. 701-720. [COBISS-SI-ID 8853849]